专题2.2 函数的单调性与最值（原卷版）.docx

函数的单调性与最值

思维导图

知识点总结

知识点一增函数与减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：

(1)如果?x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是．

(2)如果?x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是．

思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？

(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2∈D”改为“存在x1，x2∈D”？

答案(1)不是；(2)不能．

知识点二函数的单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．

特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

(2)单调区间D?定义域I.

(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

知识点三函数的最大(小)值及其几何意义

最值

条件

几何意义

最大值

①对于?x∈I，都有，②?x0∈I，使得

函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标

最小值

①对于?x∈I，都有，②?x0∈I，使得

函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标

思考函数f(x)＝x2＋1≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？

答案f(x)的最小值不是－1，因为f(x)取不到－1.

知识点四求函数最值的常用方法

1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．

2．运用已学函数的值域．

3．运用函数的单调性：

(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝，ymin＝．

(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝，ymin＝．

4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．

典型例题分析

考向一函数单调性的判定与证明

例1根据定义，研究函数f(x)＝eq\f(ax,x－1)在x∈(－1,1)上的单调性．

反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤

考向二求单调区间并判断单调性

例2(1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

(1)函数单调区间的两种求法

①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间．

②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．

(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．

考向三利用函数的单调性求最值

例3已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x＋2)，x∈[3,5]．

(1)判断函数f(x)的单调性并证明；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

反思感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)．

(3)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．

(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．

基础题型训练

一、单选题

1．函数在上是减函数，则（????）

A． B．

C． D．

2．若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b0，则有()

A．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)f(－a)＋f(－b)

C．f(a)－f(b)f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)f(－a)－f(－b)

3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（????）

A． B． C． D．

4．函数的值域为

A． B． C． D．

5．设a，，若时，恒有，则（????）

A． B． C． D．

6．已知函数的图像关于对称，且对任意的，，总有，则下列结论正确的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

7．函数满足条