北京市北师大附属实验中学2024届高三下学期3月零模数学 Word版无答案.docx

北京师范大学附属实验中学2023—2024学年度第二学期高三“零模”

数学试卷

一?选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.记复数的共轭复数为，则（）

A.1 B. C. D.

3.已知曲线的焦距为4，则其离心率为（）

A. B. C. D.2

4.设等差数列的前项和为，已知，则（）

A.4 B.6 C.10 D.12

5.在的展开式中，项的系数为（）

A. B.20 C. D.40

6.中，，则将以为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（）

A. B. C. D.

7.函数，记，则（）

A. B.

C. D.

8.已知函数，将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若和在区间上均单调递增，则的最大值为（）

A. B. C. D.

9.已知为不共线的两个单位向量，为非零实数，设，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二?填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知向量，则__________.

12.已知满足：，则__________；__________.

13.设点在抛物线上，已知.若，则__________；若，则直线斜率的最小值为__________.

14.四棱锥中，底面为矩形，，四条侧棱长度均相等.若平面平面，则该四棱锥的高为__________；二面角的余弦值为__________.

15.已知无穷数列满足：对任意，有，且.给出下列四个结论：

①存在无穷多个，使得；

②存在，使得；

③对任意，有；

④对任意，存在互不相同的，使得.

其中所有正确结论的序号是__________.

三?解答题（本大题共6小题，共85分）

16.在中，角所对边分别为，已知：

（1）求；

（2）已知，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，并求的面积.

①；

②；

③

17.如图，在直三棱柱中，已知，分别和中点.

（1）求证：平面；

（2）判断与是否垂直，并说明理由；

（3）求与平面所成角的正弦值.

18.某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：

轮次

一

二

三

四

五

六

七

八

九

十

第一次分数

7

6

8

9

8

5

9

7

10

7

第二次分数

8

7

9

10

8

9

8

7

7

9

若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”.

（1）若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；

（2）假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记为甲在三轮游戏中“稳定发挥”轮数，求的分布列和数学期望；

（3）假设选手乙参加轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记为各轮较高分的算数平均值，为各轮较低分的算数平均值，为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较与的大小（结论不要求证明）.

19.已知函数.

（1）求的图象在点处的切线方程；

（2）讨论的单调区间；

（3）若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：）

20.已知椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆方程；

（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，过分别作轴的垂线，垂足为点，求证：直线与的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.

21.已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数.

（1）若，直接写出所有满足条件的集合；

（2）若，且对任意，都有，求最大值；

（3）若且对任意，都有，求的最大值.