强度计算.结构分析：动力学分析：有限元方法在动力学分析中的应用.pdfVIP

强度计算.结构分析：动力学分析：有限元方法在动力学分

析中的应用

1绪论

1.1有限元方法简介

有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析技术，广泛应

用于工程和科学领域，特别是结构分析、流体动力学、热传导和电磁学等。它

将复杂的连续体结构分解为有限数量的简单单元，即“有限元”，通过在每个单

元上应用数学模型，可以近似求解这些单元的物理行为，进而得到整个结构的

解。这种方法能够处理形状复杂、边界条件多变的结构问题，是现代工程分析

不可或缺的工具。

1.1.1原理

有限元方法基于变分原理和加权残值法。它首先将结构的连续域离散化为

有限个单元，每个单元用一组节点来表示。然后，通过在每个节点上定义位移，

将结构的连续问题转化为离散问题。接下来，利用单元的刚度矩阵和质量矩阵，

建立整个结构的方程组，通过求解这些方程组，可以得到结构在不同载荷下的

响应。

1.1.2示例

假设我们有一个简单的梁，需要使用有限元方法分析其在载荷作用下的变

形。我们可以将梁离散化为多个线性单元，每个单元有两个节点，分别定义了

节点的位移。下面是一个使用Python和SciPy库进行简单梁分析的代码示例：

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义梁的参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

I=0.05**4/12#惯性矩，单位：m^4

L=1.0#梁的长度，单位：m

n_elements=10#单元数量

n_nodes=n_elements+1#节点数量

element_length=L/n_elements#单元长度

force=-1000#载荷，单位：N

#计算单元刚度矩阵

1

k=(E*I)/element_length**3*np.array([[12,6*element_length,-12,6*element_length],

[6*element_length,4*element_length**2,-6*element_length,2*el

ement_length**2],

[-12,-6*element_length,12,-6*element_length],

[6*element_length,2*element_length**2,-6*element_length,4*el

ement_length**2]])

#组装全局刚度矩阵

K=diags([np.repeat(k[0,0],n_elements),

np.repeat(k[0,1]+k[1,0],n_elements-1),

np.repeat(k[1,1],n_elements),

np.repeat(k[1,2]+k[2,1],n_elements-1),

np.repeat(k[2,2],n_elements),

np.repeat(k[2,3]+k[3,2],n_elements-1),

np.repeat(k[3,3],n_elements)],

[0,1,2,3,4,5,6],shape=(2*n_nodes,2*n_nodes)).toarray()

#定义边界条件和载荷向量

boundary_conditions=np.zeros(2*n_nodes)

boundary_conditions[0]=1#固定端

boundary_conditions[-1]=1#固定端

F=np.zeros(2*n_nodes)

F[n_nodes-1]=force#应用载荷

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=