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一、波函数及其统计解释
微观粒子
具有波动性
用物质波波函数描述
微观粒子状态
1925年薛定谔
例如
自由粒子沿x轴正方向运动，其能量E、动量P为常量，所以v(=E/h)、(=h/P)不随时间变化，其物质波是单色平面波，波函数为
15.6波函数一维定态薛定谔方程
波函数的物理意义：
——t时刻，粒子在空间r处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
t时刻,粒子在r处dV内出现的概率
dV
o
电子数N=7
电子数N=100
电子数N=3000
电子数N=20000
电子数N=70000
单个粒子的出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律。
电子双缝干涉图样
说明
归一化条件
波函数必须单值、有限、连续
概率密度在任一处都是唯一、有限的,并在整个空间内连续。
粒子在整个空间出现的概率为1
t时刻,粒子在r处dV内出现的概率
dV
o
说明
二、薛定谔方程(描述微观粒子在外力场中运动的微分方程)
质量m的粒子在外力场中运动，势能函数V(r,t)，其运动微分方程为
粒子在稳定力场中运动，势能函数V(r)、能量E不随时间变化，粒子处于定态，定态波函数写为
得
定态
薛定谔方程
薛定谔方程
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
描述外力场的势能函数
粒子能量
(2)求解E（粒子能量）(r)(定态波函数)
(1)势能函数V不随时间变化。
说明
三、一维无限深势阱中的粒子
0xa区域，定态薛定谔方程为
x
0a
V(x)
势能函数
令
V(x)=0，0xa
V(x)=∞，0x或xa
0x或xa区域
波函数在x=0处连续，有
在x=a处连续，有
所以
x
0a
V(r)
解为
其中
因此
粒子能量
量子数为n的定态波函数为
由归一化条件
波函数
可得
波函数
自然地得到了能量量子化结论
x
0a
概率密度分布
粒子能量
定态薛定谔方程：
四、隧道效应（势垒贯穿）
势垒
Ⅲ区
Ⅰ区
Ⅱ区
0a
U0
ⅠⅡⅢ
Ⅲ区U(x)=0x≥a
Ⅰ区U(x)=0x≤0
Ⅱ区U(x)=U00≤x≤a
E
x
得到4个方程，求出常数A1、B1、A2、B2和A3间关系，从而得到反射系数和透射系数分别为
波函数在x=0，x=a处连续
Ⅲ区
Ⅰ区
Ⅱ区
x=0处
x=a处
0a
U0
ⅠⅡⅢ
E
三个区域的波函数分别为
B3=0
0a
U0
ⅠⅡⅢ
入射粒子一部分透射到达III区，另一部分被势垒反射回I区。
讨论
(1)EU0,R≠0,即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入III区,仍有一定概率被反射回I区。
(2)EU0,T≠0,虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入III区—隧道效应。
E
(3)透射系数T随势垒宽度a、粒子质量m和能量差变化，
随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
粒子类型
粒子能量
势垒高度
势垒宽度
透射系数
电子
1eV
2eV
1eV
2eV
1eV
2eV
2×10-10m
5×10-10m
0.024
2×10-10m
0.51
质子
3×10-38
五、氢原子
球坐标的定态薛定谔方程
1.能量量子化
能量
主量子数n=1,2,3,…
电子云
电子在波尔轨道上出现的概率最大
电子云密度
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