上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（含答案解析）.docx

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上海市延安中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．若集合，则.

2．不等式的解集为.

3．若（为虚数单位），则的共轭复数为.

4．若角的终边经过点，则.

5．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.

6．若的展开式中的系数是，则．

7．已知圆，则圆心到直线的最大距离为.

8．设当时，函数取得最大值，则.

9．已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为.

10．已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为.

11．定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为．

12．若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是.

二、单选题

13．“”是“”成立的（????）条件.

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充分必要 D．既非充分又非必要

14．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

A．6种 B．12种 C．24种 D．30种

15．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）

A． B．平面ABCD

C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值

16．我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若Ax1,y1,Bx2,y2是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离AB为（????）

A．

B．

C．

D．

三、解答题

17．如图，已知正方体的棱长为.

(1)求直线和平面所成角的大小；

(2)求二面角的大小.

18．已知，曲线在点处的切线斜率为.

(1)求的值；

(2)求不等式的解集.

19．2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数

不喜欢奥数

总计

已选奥数课（A组）

150

50

200

未选奥数课（B组）

90

110

200

总计

240

160

400

(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

(2)能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？

附：

参考公式：，其中.

20．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．

（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；

（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．

21．已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

(1)求，，，；

(2)求数列的前项和；

(3)记，，求证：．

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

A

C

D

B

1．

【分析】运用并集概念计算即可.

【详解】根据并集概念，知道.

故答案为：.

2．

【分析】根据绝对值不等式的解法求得正确答案.

【详解】依题意，，或.

所以不等式的解集为：.

故答案为：

3．

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解.

【详解】由复数，可得，

则的共轭复数为.

故答案为：.

4．

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求解即得.

【详解】由角的终边经过点，得，则，

所以.

故答案为：

5．

【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.

【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件