2024年一次函数知识点.doc

一次函数

一．知识要点

1、正比例函数

一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.

2、正比例函数图象和性质

一般地，正比例函数y=kx（k為常数，k≠0）的图象是一条通过原点和（1,k）的一条直线，我們称它為直线y=kx.当k0時，直线y=kx通过第一、三象限，从左向右上升，既伴随x的增大，y也增大；当k0時，直线y=kx通过第二、四象限，从左向右下降，既伴随x的增大y反而减小.

3、正比例函数解析式确实定

确定一种正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本环节是：

（1）设出具有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到有关系数k的一元一次方程；

（3）解方程，求出待定系数k；

（4）将求得的待定系数的值代回解析式.

4、一次函数

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0時，y=kx＋b既y=kx，因此說正比例函数是一种特殊的一次函数.

5、一次函数的图象

（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是通过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称為直线y=kx＋b.

（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.

根据几何知识：通过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，既两点确定一条直线，因此画一次函数的图象時，只要先描出两点，再连成直线既可.一般状况下：是先选用它与两坐标轴的交点：（0，b），.既横坐标或纵坐标為0的点.

6、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位長度而得到（当b0時，向上平移；当b0時，向下平移）.

7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

b0

b0

b=0

k0

通过第一、二、三象限

通过第一、三、四象限

通过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

k0

通过第一、二、四象限

通过第二、三、四象限

通过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：

(1)当b0時，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．

(2)当b0時，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．

9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：

当k1≠k2時，l1与l2相交，交点是(0，b)．

10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．

(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；

(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标為(，0)与y轴交点坐标為(0，b)．

11、用待定系数法确定函数解析式的一般环节：

（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几种点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数為未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

12、运用图象解題

通过函数图象获取信息，并运用所获取的信息处理简朴的实际问題.

13、经营决策问題

函数建模的关键是将实际问題数学化，从而处理最佳方案，最佳方略等问題.建立一次函数模型处理实际问題，就是要从实际问題中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而运用数学知识处理实际问題.

二、重难点知识归纳

1、一次函数的定义、图象和性质.

2、一次函数的实际应用.

3、待定系数法.

三、经典例題剖析

例1（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值為（）

A．0B．1C．±1D．－1

（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值為_____________.

（3）当m=_______時，函数是一次函数.

解：

（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，

∴，∴k=1，∴应选B.

（2）是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使y随x的增大而减小还应满足条件2m－10，综合这两个条件得当既m=－2時，是正比例函数且y随x的增大而减小.

（3）根据一次函数的定义可知，是一次函数的条件是：

解得m=1或－3，故填1或－3.

小結某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数為1，系数不為0．而某函数若是正比例函数，则还需添加一种条件：常数项為0．

例2、两个一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m