八年级数学下册 梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理（解析版）.pdfVIP

专题03梯子模型、对角互补模型和梯形中位线定理

梯子模型

如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)

或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。

考查方向已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动求线段最值问题。

[],

模型一如图所示线段的两个端点在坐标轴上滑动，°的中点为连

:,ACLACB=ZAOC=90ACP,

接、、则当、、三点共线时此时线段最大值。

OPBPOB,OPB,OB

即已知中、的长就可求出梯子模型中的最值

RtAACBACBC,OB

模型二如图所示矩形的顶点、分别在边、上当点在边上运动

:,ABCDABOMON,AOM

时点随之在上运动，且运动的过程中矩形形状保持不变，的中点为

,BONABCDABP,

连接、、则当、、三点共线时此时线段取最大值

OPPDOD,OPD,OD

四边形中对角互补模型

对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90°与

120°的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明

两个三角形全等或者相似.

模型一：含90°的全等型

1.如图1，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：

①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③SS+SOC.

2.如图2，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.

则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-SOC.

图1图2图3

模型二、：含60°与120°的全等型

如图3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：

①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+SOC.

梯形中位线定理

（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线

（2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

【类型1：梯子模型】

【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在

x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是2+．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，取AC的中点M，连接OM，BM．

∵∠AOC＝90°，AM＝CM，AC＝4．

∴OM＝AC＝2，

在Rt△ABM中，∵∠BAM＝90°，AB＝1，AM＝2，

∴BM＝＝，

∵OB≤BM+OM，

∴OB≤2+，

∴OB的最大值为2+．

故答案为2+．

【变式1-1】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B

在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝8，

BC＝3，运动过程中，点D到点O的最大距离为9．

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD≤OE+DE，

∴当O、