4.1.1 n次方根与分数指数幂课时教学设计（高洪春）-高中数学新教材必修第一册小单元教学+专家指导（视频+教案）.docx

n次方根与分数指数幂

教学设计

（一）教学内容

n次方根与分数指数幂

（二）教学目标

1．经历n次方根定义形成过程，理解根式的意义，掌握根式的性质，提升数学抽象核心素养．

2．了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂间的互化．

3．理解有理数指数幂的意义，掌握其运算性质，并通过初步应用提升数学运算核心素养．

（三）教学重点、难点

教学重点：根式与有理数指数幂的意义及其运算性质．

教学难点：理解根式及分数指数幂的定义，及有理数指数幂的运算性质．

（四）教学过程设计

问题1：请同学们阅读教科书第四章的章头图和章引言，并回答如下问题：

（1）本章要学习的内容是什么？涉及到哪些函数？

（2）如何研究这些函数？研究这些函数的哪些方面？

（3）这些函数可以解决哪些实际问题？

师生活动：学生独立阅读教科书内容，回答上述问题，教师予以补充．

（1）指数函数与对数函数，并学会利用它们解决实际问题．

（2）类比幂函数的学习，根据研究一类函数的过程和方法，对指数函数和对数函数按照“背景—概念—图象和性质—应用”的路径进行研究．需要研究它们的概念、图象、性质．

（3）比如细胞分裂的数量随时间的变化的规律是成指数增长的；未受控制的传染病在大量人群中传播的初期都是成指数增长的；利用放射性物质的衰减测定遗址及文物的年代；地震的强度单位里氏震级是对地震时释放的能量用对数进行换算的．举例时尽量突出指数增长的爆炸性特点，对数增长的缓慢性特点．

设计意图：明确本章研究的内容、方法、实际应用背景，为本章的学习指明方向．

问题2：为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数．初中已经学过整数指数幂，请回顾正整数指数幂、负整数指数幂的意义及其运算性质．根据整数指数幂的意义和运算性质，你觉得指数的范围还能进一步拓展吗？

师生活动：学生回答，教师进行归纳．

正整数指数幂来源于数的自乘运算，负整数指数幂来源于数的自乘运算的倒数，这种指数运算在表示方式上更加简洁．在幂函数的学习时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作c=S

设计意图：通过复习整数指数幂，体会指数运算来源于数的自乘运算，这种指数幂的表示在形式上更加简洁，说明指数幂运算产生的必要性，以便引出数的n次方根运算与分数指数幂的关系．

问题3：初中阶段，我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根．类比平方根、立方根与平方、立方之间的关系，试着说说4次方根、5次方根……由此可以得出n次方根的概念吗？

师生活动：先由学生举例，并进行归纳、抽象，然后由教师进行讲解．

（1）学生举例：①(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根；②25=32，我们把2叫做32的5次方根；③(?2)5=?32，我们把?2叫做?32的5次方根；……

n次方根：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*．

追问1：在实数范围内，负数有没有偶次方根？为什么？

在实数范围内，负数没有偶次方根．因为任何实数的偶数次方幂都是正数，从而负数的偶数次方根找不到对应的实数．如果要讨论负数的偶次方根，就必须将数域从实数再进行扩充，此时暂不做讨论．

追问2：观察所举的例子，当n为偶数时，被开方数的符号、n次方根分别是什么？当n为奇数时呢？

当n为偶数时，被开方数是非负数；

正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数；

正数a的正的n次方根用na表示，负的n次方根用?na表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±

当n为奇数时，被开方数是实数，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用na

式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a

追问3：0的n次方根该如何定义？

0的任何次方根都是0，记作n0=0

设计意图：引导学生由特殊到一般，由具体到抽象，形成n次方根的定义．

问题4：(na)n=a一定成立吗？nan表示an的n次方根，nan

师生活动：学生通过举例，并结合问题3的结论，来解决问题．教师可以引导学生进行分类讨论，分类的标准就是问题3的结论，即n为奇数或偶数，a的符号．

（1）由(5)2=5，(52)5=2，(5?3)5=?3，(6?4)6无意义，……可以抽象得到：只要(na)n有意义，则(

（2）由323=2，，505=0，……可以抽象得到：当n为奇数时，n

由424=2，，606=0，……可以抽象得到：当n为偶数时，na

设计意图：通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根的概念，形成严谨的分类思想，提升逻辑推理的核心素养．

例1求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）．

师生活动：学生独立完成后展示交流．师生总结求解要点：要根据n的奇偶性进行具体分析．要特别注意当n为偶数时最后结果的准确表示及化简．例如对于最后一个小题，由于涉及字母