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3.2.2双曲线的简单几何性质（教学设计）

主备人

备课成员

课程基本信息

1.课程名称：3.2.2双曲线的简单几何性质

2.教学年级和班级：高中一年级（1）班

3.授课时间：2022年10月20日

4.教学时数：1课时

核心素养目标分析

本节课旨在培养学生的逻辑思维、空间想象和数学建模能力。通过探究双曲线的简单几何性质，学生将能够理解并运用数学语言描述双曲线的特征，培养直观感知和抽象概括能力。同时，通过解决与双曲线相关的问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，发展数学思维品质。

学习者分析

1.学生已经掌握了二次函数的图像和性质，了解了抛物线的标准方程，具备了一定的解析几何基础。

2.学生对几何图形有浓厚的兴趣，具备一定的观察能力和逻辑推理能力。他们喜欢通过直观的图像来理解抽象的数学概念，偏好通过实际操作和问题解决来学习。同时，学生的数学能力层次不齐，部分学生对空间想象和数学建模有一定的难度。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：对双曲线的直观感知不足，难以理解双曲线的几何性质；在推导双曲线标准方程时，可能会对参数的理解和应用感到困惑；在解决与双曲线相关的问题时，可能会在如何运用几何性质上感到困难。

学具准备

多媒体

课型

新授课

教法学法

讲授法

课时

第一课时

步骤

师生互动设计

二次备课

教学资源

-硬件资源：多媒体投影仪、计算机、交互式白板

-软件资源：数学教学软件（如几何画板）、PPT演示文稿

-课程平台：学校内部教学管理系统

-信息化资源：网络数学教学资源库

-教学手段：板书、图形演示、问题讨论、小组合作

教学过程

同学们，今天我们将要学习双曲线的简单几何性质。在这一节课中，我们将通过观察、推导和问题解决来深入理解双曲线的特点和应用。

1.导入新课

同学们，我们已经学习过二次函数的图像和性质，记得我们是如何描述抛物线的吗？是的，我们通过其标准方程和几何特征来描述。今天，我们将要学习另一种二次曲线——双曲线。请大家先观察一下我在黑板上画的双曲线，看看你们能发现什么？

2.观察双曲线的基本形态

（板书并在黑板上画出双曲线的标准图形）

请大家注意观察，双曲线是由两条曲线组成的，它们在中心对称。现在，我想请大家用你们的语言描述一下双曲线的形状特点。

（学生回答，教师总结）

很好，双曲线的两侧是对称的，且随着距离中心的增加，曲线越来越远离中心。

3.探究双曲线的标准方程

（引导学生回顾抛物线的标准方程）

同学们，我们之前学过抛物线的标准方程，它是由其焦点和准线的位置关系决定的。那么，双曲线是否也有类似的关系呢？我们一起来探究一下。

（学生分组讨论，教师引导）

现在，请大家分成小组，尝试推导双曲线的标准方程。记得，我们可以从双曲线的定义出发，即平面上所有点到两定点距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹。

（学生推导，教师总结）

很好，同学们通过合作推导出了双曲线的标准方程。我们得到双曲线的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

4.理解双曲线的几何性质

（讲解双曲线的几何性质）

现在，我们来看一下双曲线的几个重要几何性质。首先，双曲线有两个焦点，分别位于x轴上。其次，双曲线的渐近线是两条斜率相反的直线。最后，双曲线的实轴和虚轴分别对应于x轴和y轴。

（通过图形演示加深理解）

请大家看我在黑板上画的图形，这里展示了双曲线的焦点、渐近线和轴。现在，我想请大家思考一个问题：双曲线的渐近线是如何定义的？

（学生回答，教师总结）

正确，双曲线的渐近线是当x或y趋向于无穷大时，双曲线无限接近但永远不会相交的直线。

5.应用双曲线的几何性质解决问题

（提出问题，引导学生应用知识）

现在，让我们来应用我们刚刚学到的双曲线的几何性质来解决问题。假设有一个双曲线的焦点为\(F_1(-c,0)\)和\(F_2(c,0)\)，且实轴长为2a。请问，双曲线的方程是什么？

（学生解答，教师点评）

很好，有同学已经回答出双曲线的方程是\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。那么，如果给定了具体的焦点坐标和实轴长，我们如何求出双曲线的方程呢？

（学生讨论，教师总结）

正确，我们需要先求出c和b的值，然后代入方程即可。

6.小组合作解决问题

（分配任务，小组合作）

（小组合作，教师巡回指导）

同学们，请注意，在解决问题的过程中，要充分利用双曲线的几何性质，如果遇到困难，可以随时向我求助。

7.总结和作业布置

（总结本节课内容）

（布置作业）

作为今天的作业，我想请大家完成以下练习：给定双曲线的焦点和实轴长，求双曲线的方程，并描述其几何特征。

同学们，今天的课就到这里