数值分析第二章.ppt

*方程求根问题引例二分法算法及其应用不动点迭代法Newton迭代法《数值分析》Ch2????rd例2.水中浮球问题有一半径r=10cm的球体,密度?=0.638.球体浸入水中后,浸入水中的深度d是多少？根据阿基米德定律,物体排开水的质量就是水对物体的浮力。整理得:d3–3rd2+4r3?=0由?=0.638,r=10.代入,得d3–30d2+2552=0令f(x)=x3–30x2+2552,函数图形如下所示求解方程f(x)=0,即是求函数f(x)的零点.f(x)的零点所在区间为:[0,20]roots([1-3002552])ans=26.314611.8615-8.1761第一步:对根进行隔离,找出隔根区间,或在隔根区间内确定一个解的近似值x0;设f(x)=0的根为x*,通过迭代计算,产生序列:x0?x1?x2?···?xn·········用数值方法求非线性方程的根,分两步进行:第二步:逐步逼近,利用近似解x0(或隔根区间)通过迭代算法得到更精确的近似解.只须已知方程f(x)=0有一隔根区间[a,b],且f(x)满足f(a)·f(b)0,则先将[a,b]等分为两个小区间,判断根属于哪个小区间,舍去无根区间保留有根区间[a1,b1];二分法迭代把区间[a1,b1]一分为二,进一步判断根属于哪个更小的区间[a2,b2],如此不断二分以缩小区间长度.[a,b]x0=0.5(a+b)[a1,b1]=[a,x0][a1,b1]=[x0,b]x1=0.5(a1+b1)f(a1)f(b1)0已知f(x)=0在[a,b]内有一根,且f(a)f(b)0(1)计算:ya?f(a),x0?0.5(a+b),y0?f(x0)判断,若y0=0,则x0是根,否则转下一步;(2)判断,若y0·ya0,则a1?a,b1?x0否则a1?x0,b1?b,ya?y0二分法迭代将得到一系列隔根区间定理2.2设x*是f(x)=0在[a,b]内的唯一根,且f(a)·f(b)0,则二分计算过程中,各区间的中点数列性质:1.f(an)·f(bn)0;2.bn–an=(b–a)/2n满足:|xn–x*|≤(b–a)/2n+1思考:|xn+1–xn|=？例3用二分法求方程在区间[0,1]内的根,要求误差不超过2-5.x=-1:.5:2;y=exp(-x)-sin(pi*x/2);plot(x,y)grid有一个点介于0和1之间.显然f(0)·f(1)0,解:令,绘图如下f=inline(exp(-x)-sin(pi*x./2));a=0;b=1;er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=1/2^5;whileerer0x0=.5*(a+b);y0=f(x0);ifya*y00b=x0;elsea=x0;ya=y0;enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1end00.50000.25000.50000.37500.50000.43750.50000.43750.4688水中浮球问题:x3–30x2+2552=0xf=inline(x.^3-30*x.^2+2552);a=0