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映射连续的证明

引言：

连续函数在数学中起到了至关重要的作用。为了对连续性进行严格的

证明，我们需要了解连续函数的定义及其性质。本文将围绕映射连续

的证明展开讨论，从连续函数的定义入手，逐步推导出连续函数的几

个重要性质，并给出相应的证明过程。

正文：

一、连续函数的定义及特性

1.1连续函数的定义

连续函数是指在定义域内，函数值与自变量之间的变化趋势连贯而不

中断。具体而言，设函数f：D→R，其中D为定义域，R为实数集，

若对于任意给定的ε0，存在δ0，使得当|x-x0|δ时，有|f(x)-f(x0)|ε，

则称函数f在x0处连续。

1.2连续函数的性质

a)连续函数的四则运算性质：若函数f(x)和g(x)在定义域内连续，则

f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（其中除数不为0）也在定义域内连续。

b)连续函数的复合性质：若函数f(x)在定义域内连续，g(u)在定义域内

连续，并且f(x)的值域在g(u)的定义域内，则复合函数g(f(x))也在定义

域内连续。

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二、映射连续的证明

2.1证明连续函数的四则运算性质

对于函数f(x)和g(x)在定义域内连续，我们需要证明f(x)±g(x)、f(x)g(x)、

f(x)/g(x)（其中除数不为0）也在定义域内连续。

2.1.1证明f(x)±g(x)连续

设函数h(x)=f(x)±g(x)，结合连续函数的定义，我们需要证明对于任

意给定的ε0，存在δ0，使得当|x-x0|δ时，有|h(x)-h(x0)|ε。

由于f(x)和g(x)在定义域内连续，根据连续函数的定义，分别存在δ1

和δ2，使得当|x-x0|δ1时，有|f(x)-f(x0)|ε/2，当|x-x0|δ2时，有|g(x)-

g(x0)|ε/2。

取δ=min(δ1,δ2)，当|x-x0|δ时，有|h(x)-h(x0)|=|f(x)±g(x)-f(x0)±g(x0)|≤

|f(x)-f(x0)|+|g(x)-g(x0)|ε/2+ε/2=ε，即|h(x)-h(x0)|ε。因此，f(x)±g(x)

在定义域内连续。

2.1.2证明f(x)g(x)连续

设函数p(x)=f(x)g(x)，结合连续函数的定义，我们需要证明对于任意

给定的ε0，存在δ0，使得当|x-x0|δ时，有|p(x)-p(x0)|ε。

由于f(x)和g(x)在定义域内连续，根据连续函数的定义，分别存在δ1

和δ2，使得当|x-x0|δ1时，有|f(x)-f(x0)|min(1,ε/(2|g(x0)|))，当|x-

x0|δ2时，有|g(x)-g(x0)|min(1,ε/(2M))，其中M为g(x)在定义域内的

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上界。

取δ=min(δ1,δ2)，当|x-x0|δ时，有|p(x)-p(x0)|≤|f(x)-f(x0)||g(x0)|+

|g(x)-g(x0)||f(x0)|≤min(1,ε/(2|g(x0)|))|g(x0)|+min(1,ε/(2M))|f(x0)|=ε/2

+ε/2=ε，即|p(x)-p(x0)|ε。因此，f(x)g(x)在定义域内连续。

2.1.3证明f(x)/g(x)连续

设函数q(x)=f(x)/g(x)，其中g(x0)≠0，结合连续函数的定义，我们需

要证明对于任意给定的ε0，存在δ0，使得当|x-x0|δ时，有|q(x)