考点20利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）（教师版） 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）.pdf

考点20利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保

分练+综合提升练+拓展冲刺练）

【考试提醒】

导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结

合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题

目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果

【核心题型】

题型一将不等式转化为函数的最值问题

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复

杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可

得证．

2024··0xx1，下列不等式恒成立的是（）

【例题1】（陕西咸阳模拟预测）已知12

A．xex1xex2B．xlnxxlnx

212112

C．xlnxxlnxD．ex1lnx

11221

D

【答案】

x

e

Ag(x)=xlnx

【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可求解，构造函数，求导

f(x)=

x

lnx

C,h(x)=BD.

即可判断构造函数即可求解，根据指数以及对数的性质即可求解

x

ex(x-1)ex

【详解】令且0x1，则f¢x=0，故f(x)在(0,1)上递减，

f(x)=2

xx

x2x1

ee

0xx1f(x)f(x)ÞÞxex2xex1A

又12，所以2112，错误；

xx

21

令g(x)=xlnx且0x1，则g¢x=1+lnx，

1¢1¢

所以(0,)上g(x)0，g(x)递减，(,1)上g(x)0，g(x)递