2024年人教版八年级上册教学设计第十四章14.2 乘法公式.docx

14.2.1平方差公式

课时目标

1.经历探索平方差公式的过程.进一步发展学生的符号感、推理能力和模型意识.

2.能运用公式进行简单的运算,进一步培养学生逆向思维能力和数学应用意识,感悟整体思想.

3.通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动中的探索性和创造性.

学习重点

平方差公式的运算法则.

学习难点

平方差公式的运算法则的灵活应用.

课时活动设计

情境引入

丽丽去商店买了单价是9.8元的糖果10.2千克,售货员刚拿起计算器,丽丽就说出应付99.96元,结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说:“你好像是个神童,怎么算得这么快?”

丽丽说:“过奖了,我利用了在数学上刚学过的一个公式.”

猜想丽丽运用了什么数学公式?大家会用什么方法计算应付全额?

设计意图:用学生身边的事做例子,符合他们的生活经验,激发了学习兴趣.

探究新知

问题1:计算下列多项式的积,你能发现什么规律?

(1)(x+1)(x-1)-x2-1;(2)(m+2)(m-2)=m2-4;(3)(2x+1)(2x-1)=4x2-1.?

解:规律为:左边为两个数的和与两个数差的积,右边为这两个数的平方差.

追问:你能用语言叙述你发现的规律,并用数学符号表示出来吗?说说你的猜想.

师生活动:教师鼓励学生小组讨论,总结规律.

运用符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2.

问题2:你能借助图形的面积,说明猜想的正确性吗?

学生小组合作,完成拼剪活动,利用几何图形面积的相等关系,验证平方差公式:

左图中蓝色区域面积=大正方形-小正方形=a2-b2;

右图中蓝色区域面积=长×宽=(a+b)(a-b);

得到(a+b)(a-b)=a2-b2.

师生共同归纳得出公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式叫做平方差公式.

师生活动:教师强调公式中的a,b既可以表示单项式,也可以表示具体的数或多项式.

在此基础上,教师引导学生用语言叙述公式并总结公式结构特征.

两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式.

结构特征:

(1)公式中的a和b,既可以是具体的数,也可以是单项式或者多项式;

(2)左边是两个二项式的积,并且有一项完全相同,另一项互为相反数;

(3)右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.

设计意图:由特殊到一般,通过引导,与学生共同抽象概括出平方差公式.利用几何图形面积的相等关系,进一步从几何角度验证平方差公式,渗透数形结合思想,让学生体会代数与几何的内在联系,引导学生从多角度、多方面思考问题.

典例精讲

例1计算:

(1)(3x+2)(3x-2);(2)(-x+2y)(-x-2y).

解:(1)原式=(3x)2-22=9x2-4.(2)原式=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.

例2计算:

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);(2)102×98.

解:(1)原式=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.

(2)原式=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.

例3先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2.

解:原式=4x2-y2-(4y2-x2)=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2.

当x=1,y=2时,原式=5×12-5×22=-15.

设计意图:本环节设置了两种类型的题.一类为混合运算,让学生理解一般形式的乘法运算与特殊形式的乘法运算的区别和联系;一类为简便运算,强调只有符合公式结构特点的乘法,才能用公式简化运算,进一步发展学生的模型意识.

巩固训练

1.利用平方差公式计算:

(1)(3+2a)(-3+2a);(2)(a+3b)(a-3b);(3)(-2x2-y)(-2x2+y).

解:(1)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9.

(2)原式=(a)2-(3b)2=a2-9b2.

(3)原式=(-2x2)2-y2=4x4-y2.

2.利用平方差公式计算:

(1)(a-2)(a+2)(a2+4);(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).

解:(1)原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.

(2)原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=(x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.

3.先化简,再求值:(x+1)(x-1)+x2(1-x)+x3,其中x=2.

解:原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1.

将x=2代入上式,原式=2×22-1=7.

设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.

课堂小结