空气动力学数值方法：有限差分法(FDM)在粘性流中的应用.pdfVIP

空气动力学数值方法：有限差分法(FDM)在粘性流中的应用

1空气动力学数值方法：有限差分法(FDM)在粘性流中的应

用

1.1绪论

1.1.1有限差分法的基本概念

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)是一种广泛应用于偏微分方程数

值求解的方法，尤其在空气动力学领域，用于模拟流体动力学问题。FDM的基

本思想是将连续的偏微分方程在空间和时间上离散化，将连续域上的问题转化

为离散网格上的问题，通过在网格节点上计算差分近似值来逼近原方程的解。

1.1.1.1空间离散化

在空间离散化中，我们通常将流体域划分为一系列的网格点。例如，考虑

一维空间中的流体流动，我们可以在x轴上设置一系列等间距的点，每个点代

=

表一个网格节点。假设网格间距为，则网格点可以表示为，其中是

整数。

1.1.1.2时间离散化

时间离散化则是将时间轴上的连续时间流分割成一系列离散的时间步。假

=

设时间步长为，则时间点可以表示为，其中是整数。

1.1.1.3差分近似

在有限差分法中，我们使用差分近似来代替导数。例如，一阶导数可以使

用向前差分、向后差分或中心差分来近似：

1−

向前差分：≈

−1

≈

向后差分：′

1−1

≈

中心差分：′

2

二阶导数通常使用中心差分近似：

−

12+1

≈

″

2

1

1.1.2粘性流的物理特性

粘性流体是指具有粘性的流体，其流动特性受到流体内部摩擦力的影响。

在空气动力学中，粘性流体的流动可以通过纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes

equations)来描述，这是一组非线性的偏微分方程，描述了流体的动量守恒和能

量守恒。

纳维斯托克斯方程

1.1.2.1-

纳维-斯托克斯方程的一般形式为：

∂

+∇⋅=0

∂

∂

⋅⊗−⋅

+∇=∇+∇+

∂

∂

+∇⋅+=∇⋅⋅+⋅

∂