2024年冀教版八年级上册教学设计第十六章16.2 线段的垂直平分线.docx

第1课时线段垂直平分线的性质定理

课时目标

1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明.

2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质定理.

3.理解并能求解最短路径问题.

学习重点

理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质定理.

学习难点

理解并能求解最短路径问题.

课时活动设计

回顾引入

1.回忆轴对称图形:

如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

2.回忆线段的垂直平分线的定义:

垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.

师:线段是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?

生:是轴对称图形,对称轴是线段的垂直平分线.

那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢?

设计意图:通过已学知识引入新知.

探究新知

线段垂直平分线的性质定理.

如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,……是l上的点,请你量一量线段P1A,P1B,P2A,P2B,P3A,P3B的长,你能发现什么?请猜想点P1,P2,P3,……分别到点A与点B的距离之间的数量关系.

猜想:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

如图,已知直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P为直线l上任意一点,连接PA,PB.

求证:PA=PB.

证明:∵直线l⊥AB,

∴∠PCA=∠PCB.

在△PCA和△PCB中,

∵AC

∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB.

线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

符号语言:

如图,∵直线l垂直平分AB,点P在l上,

∴PA=PB.

设计意图:培养学生抽象、归纳的能力,规范几何语言.

典例精讲

例如图,已知点A,B是直线l外的任意两点,在直线l上试确定一点P,使得AP+BP最短.

解:如图1,作点A关于直线l的对称点A,连接AB,交直线l于点P,则AP+BP最短.

理由如下:

∵点A,A关于直线l对称(作法),

∴AP=AP(线段垂直平分线的性质定理).

∴AP+BP=AP+BP=AB(等量代换).

如图2,在直线l上任取一点P,连接AP,BP,AP,

则AP+BP≥AB(两点之间线段最短),

即AP+BP=AP+BP≥AB=AP+BP.

∴AP+BP最短.

设计意图:通过例题,展示求最短路径的方法,帮助学生灵活运用线段垂直平分线的性质定理,展示规范的答题步骤,让学生感受数学的严谨性.

巩固训练

1.如图所示,直线l是线段AB的垂直平分线,垂足为C,点P为直线l上的一点,且PA=5,则线段PB=5;若∠A=40°,则∠B=40°.?

第1题图

第2题图

2.如图所示,在△ABC中,BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于18cm,则AC的长是10cm.?

3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.

证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADE=∠FCE.

∵E是CD的中点,∴DE=CE.

在△ADE和△FCE中,∠

∴△ADE≌△FCE(ASA).∴AD=FC.

(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=FE,AD=FC.∵BE⊥AE,∴∠AEB=∠FEB=90°.

在△BAE和△BFE中,AE=FE,∠AEB=∠FEB,

又∵FB=BC+CF,AD=FC,∴AB=BC+AD.

设计意图:通过练习,加深对线段垂直平分线的性质定理的理解,使学生可以更加灵活运用线段垂直平分线的性质定理解决问题.

课堂小结

设计意图:通过小结,让学生交流收获与不足,养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.

课堂8分钟.

1.教材第114页习题A组第1,2题,第115页习题B组第1,2题.

2.七彩作业.

第1课时线段垂直平分线的性质定理

1.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.

几何语言:

如图,∵直线l垂直平分AB,点P在l上,

∴PA=PB.

2.最短路径问题.

教学反思

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第2课时线段垂直平分线性质定理的逆定理和尺规作图

课时目