2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 列分式方程解决实际问题教学设计.docx

第2课时列分式方程解决实际问题

教学目标

课题

15.3第2课时列分式方程解决实际问题

授课人

素养目标

1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.

2.运用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程.

3.通过分式方程的应用教学，培养学生的数学应用意识，提高分析问题和解决问题的能力.

教学重点

根据实际问题列出分式方程并正确解分式方程．

教学难点

提炼等量关系并将其转化为方程的过程.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：复习旧知，导入新课

设计意图

通过复习分式方程的解法唤醒旧知，引出新课.

【复习导入】

1.回顾一下上节课学习的解分式方程的一般步骤.

(1)去分母(2)解整式方程(3)检验

2.接下来我们来解方程eq\f(2,x＋3)＋eq\f(3,2)＝eq\f(4,2x＋6).

解：方程两边乘2(x＋3)，得4＋3(x＋3)＝4.

解得x＝－3.检验：当x＝－3时，2(x＋3)＝0，

所以x＝－3不是原分式方程的解．所以原分式方程无解.

其实，在解决生活实际问题中，有时需要列、解分式方程，那我们就一起来学习如何用分式方程解决实际问题吧！

【教学建议】

教师提出问题，学生回答，回忆分式方程的基本解法，学生对所出示方程进行演算．教师使用课件展示解分式方程的过程．通过例题演示，让学生对比正确解法，检查自身问题.

活动二：实践探究，获取新知

设计意图

通过回顾已学的与本探究相关的知识，为探究新问题做知识铺垫.

探究点1列分式方程解决工程问题

问题1请大家回忆一下一元一次方程中列方程解应用题的步骤有哪些？审、找、设、列、解、验、答.

问题2请大家填一填工程问题的等量关系：

工作总量＝工作效率×工作时间.

问题3借助这个等量关系回答下面问题：

一件工作，甲单独做需ah完成，乙单独做需bh完成，则甲的工作效率为eq\f(1,a)，乙的工作效率为eq\f(1,b)，则甲、乙合作需1÷(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))h完成.

类比一元一次方程中的列方程解应用题的方法，我们一起来看教材P152例3吧！

例(教材P152例3)两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的eq\f(1,3)，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？

分析：甲队1个月完成总工程的eq\f(1,3)，设乙队单独施工1个月能完成总工程的eq\f(1,x)，

【教学建议】

对于问题1，教师可先让学生进行回答，再进行启发和补充.

【教学建议】

例题是以筑路工程为背景的问题．对于这类问题，通常设工程总量为1.教学中，可以引导学生进行如下分析：从题中已知条件可知甲队单独施工1个月完成总工程量的eq\f(1,3)，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两队的施工速度．因此，可以设乙队单独施工1个月.

教学步骤

师生活动

那么甲队半个月完成总工程的eq\f(1,6)，乙队半个月完成总工程的eq\f(1,2x)，

两队半个月完成总工程的eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)在用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程.

完成总工程量的eq\f(1,x)，进而列出方程

设计意图

通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能．并规范其解题书写格式.

思考：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？

eq\f(1,3)＋两队共同工作半个月完成的总工程量＝1.

也可用表格梳理数量关系：

工作效率

工作时间

工作量

甲队

eq\f(1,3)

1＋eq\f(1,2)

eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)

乙队

eq\f(1,x)

eq\f(1,2)

eq\f(1,2x)

解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的eq\f(1,x).记总工程量为1，根据工程的实际进度，得eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)＝1.

方程两边乘6x，得2x＋x＋3＝6x.解得x＝1.

检验：当x＝1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1.

由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的eq\f(1,3)，可知乙队的施工速度快．

【对应训练】教材P154练习第2题．

教师总结列分式方程解决工程问题的解题策略：

1．题中有“单独”字眼通常可知工作效率．

2．通常间接设元，如××单独完成需x(单位时间)，则可表示出其工作效率．

3．弄清基本的数量关系．如本题中的“合作的工效＝甲乙两队工作效率的和”．

4．解题方法：可概括为“321”，“3”指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率、工作时间、