2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 含30°角的直角三角形的性质教学设计.docx

第2课时含30°角的直角三角形的性质

教学目标

课题

13.3.2第2课时含30°角的直角三角形的性质

授课人

素养目标

1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质.

2.经历探究含30°角的直角三角形性质的过程，提升推理能力.

3.合理应用含30°角的直角三角形的性质，强化应用意识.

教学重点

含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．

教学难点

含30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合应用.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：创设情境，导入新课

设计意图

由熟悉的三角板引入课题.

【情境引入】

我们经常使用的三角板，其中一块含有30°的锐角．量一量30°角所对的直角边的长度，再量一量这块三角板斜边的长度，它们有什么关系？大胆猜一猜.

【教学建议】

让学生测量后自由回答.

活动二：观察猜想，探究求证

设计意图

结合等边三角形的知识推出含30°角的直角三角形的性质.

探究点含30°角的直角三角形的性质

如图，将两个含30°角的全等的三角尺摆放在一起．

你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB

\之间的数量关系吗？

问题1两个三角尺构成的图案，恰好是一个三角形吗？

是的．∠ACB＋∠ACD＝90°＋90°＝180°，所以点B，C，D在一条直线上．所以两个三角尺构成的图案恰好是一个三角形.

问题2△ABD是不是等边三角形？说明理由.

是．因为两个三角形尺全等，所以AB＝AD.因为∠BAC＝∠DAC＝30°，所以∠BAD＝30°＋30°＝60°.所以△ABD是等边三角形.

问题3你能说说BC与AB的长度关系吗？

BC＝eq\f(1,2)AB.理由：因为BC＝CD，所以BC＝eq\f(1,2)BD.

因为△ABD是等边三角形，所以BD＝AB.所以BC＝eq\f(1,2)AB.

你还能用其他方法证明上面的结论吗？

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝eq\f(1,2)AB.

证明：如图，在AB边上截取BE＝BC，连接CE.

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，

∴∠B＝90°－30°＝60°.

又BE＝BC，∴△BCE是等边三角形.∴BE＝CE＝BC，∠BCE＝60°.

∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB－∠BCE＝30°.

又∠A＝30°，∴∠A＝∠ACE.∴AE＝CE＝BC＝BE.∴BC＝eq\f(1,2)AB.

【教学建议】

给学生强调，使用含30°角的直角三角形的性质时，其前提是在直角三角形中，不要忽视.

这个结论的逆命题也是成立的，即直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°(教学中不必补充，对于学有余力的学生，可做适当介绍)..

教学步骤

师生活动

归纳：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【对应训练】

1．教材P81练习．

2.如图,∠AOB＝30°,点C在射线OB上，若OC＝6，则点C到OA的距离等于3.

活动三：实际应用，加深理解

设计意图

例1与对应训练1是在实际场景中运用含30°角的直角三角形的性质，注意体会直角三角形中角与边的联系.

设计意图

利用例2与对应训练2补充应用场景，注意体会含30°角的直角三角形的性质的其他应用形式.

例1(教材P81例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长？

解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，

∴BC＝eq\f(1,2)AB，DE＝eq\f(1,2)AD.∴BC＝eq\f(1,2)×7.4＝3.7(m).

又AD＝eq\f(1,2)AB，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×3.7＝1.85(m).

答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.

例2如图，灯塔C在海岛A的北偏东75°方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15nmile/h的速度由西向东航行，上午10时整到达B处，此时测得灯塔C在B处的北偏东60°方向.

(1)求B处到灯塔C的距离；

(2)已知在以灯塔C为中心，周围16nmile的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由.

解：(1)根据题意得∠BAC＝90°－75°＝15°，∠CBE＝90°－60°＝30°，AB＝15×2＝30(nmile)，∴∠ACB＝30°－15°＝15°.∴∠BAC＝∠ACB.∴BC＝AB＝30nmile.

答：B处到灯塔C的距离为30nmile.

(2)会有触礁的危险．理由：如图，过点C作CD⊥AB于点D.

∵∠CBD＝30°，BC＝30nmile，∴CD＝eq