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**§3泰勒级数我们知道一个幂级数的和函数在他的收敛圆的是解析函数,现在我们考虑与此相反的问题:一个解析函数是否能用幂级数来表示?1.泰勒展开定理对实函数而言,一个关键性条件是:应在展开点处具有任意阶导数。对于复变函数来说,由于解析函数具有任意阶的导数,所以这一条件是满足的。下面给出关于这一问题的结论。。z0.zk将此式代入柯西积分公式,并将其写为如下形式证毕定理中的公式称为函数f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为f(z)在z0的泰勒级数,其形式与实变函数的情形完全一样。2.函数展开成幂级数(一)直接展开法注:以上几个展式显然与相应的实函数展式一致。(二)间接展开法通过对函数进行变形(如:加项、减项,同乘、同除,三角恒等式,有理式分解);逐项积分;逐项求导等方法将要展开的函数化成上面已知展式的基本函数上去,然后展开的方法。逐项积分,得到(逐项积分、求导,收敛半径不变)解:函数为有理分式,对此常见的处理方法为分解:收敛域呢?应为二者的公共部分,即解:由幂级数乘法运算规则,然后,合并、化简,得
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