模块六大招4数列不等式的放缩.docx

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大招4数列不等式的放缩

如果要证明数列的前n项和满足（或），我们可以考虑直接证明以及数学归纳法，如果这两种方法解决不了，我们还可以考虑寻找辅助数列（或），使得，（或，）．

常见的放缩有分组放缩、等比放缩、裂项放缩、基本不等式放缩、递推放缩、函数放缩，下面我们一一研究这几种放缩方式．

1．分组放缩

先将数列的前n项和分成若干组，再对每组单独确定放缩或不放缩．

2．等比放缩

如果数列满足，则有，

因此数列的前n项和满足．

这样就完成了对数列的放缩，其中等比数列是辅助数列．

这种所构造的辅助数列是等比数列的放缩方式称为等比放缩．

3．裂项放缩

所构造的辅助数列是可以裂项相消求和的数列的放缩方式称为裂项放缩，

常见的裂项放缩形式有以下三种．

（1）分式裂项放缩：若数列的通项是一个分式，譬如，，…，

则可将放缩成一个可以分式裂项相消求和的式子，

如，，等．

（2）根式裂项放缩：若数列的通项是含根式的，譬如，，…，

则可将放缩成一个可以根式裂项相消求和的式子．下面就是根式裂项放缩中比较常用的两个放缩式．

②．

证明先证左边，因为，

所以．再证右边，

因为，

所以．故．

②．

证明:??先证左边，．

再证右边，

．故．

（3）指分结构裂项放缩：若数列的通项公式为，则．

证明:??因为，，所以，

所以，即．

4．基本不等式放缩

如果数列的某些项的和符合基本不等式的形式，可以直接利用基本不等式来进行放缩，这种放缩方式称为基本不等式放缩．

5．递推放缩

如果题目只给了递推关系式，而根据这个递推关系式没办法直接求出的通项，然而又需要我们证明一个不等式，此时就需要直接利用递推关系式，构建一个放缩式．这种利用题目中给出的递推关系式直接进行放缩的放缩方式称为递推放缩．

一般来说我们采用以下两种思路处理这类问题：

①写出递推关系式，然后通过恒等变形得到放缩式．

②写出，，然后将与这两个关系式进行加减乘除（更多的是相减和相除），再恒等变形得到放缩式．

【典例1】

已知数列的前n项和为，且，求证：．

【大招指引】先将分为，

这样的4组，再加以放缩求和．

【解析】因为，

所以．

因为，

所以．

因为，

所以．

综上所述，．

【题后反思】因为将所求分成了四组且要证明，所以要注意将四组的和进行放大和缩小，一是要将四组的和均放大为1，二要将四组的和缩小为.

【温馨提醒】利用分组放缩法证明不等式时，要注意根据所证结论进行合理分组和放缩，技巧性较强，要善于总结.

【举一反三】

1．已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列，

(1)求数列，的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和；

(3)若数列满足，求证：.

【典例2】

已知数列的前n项和为，且，求证：．

【大招指引】因为，所以，即放大为等比数列的求和问题，再根据题意适当保留项进行求解.

【解析】因为，所以．

当时，成立．

当时，

（第一项不放缩，从第二项开始放缩）．综上所述，．

【题后反思】首先看到，直接求和或者使用数学归纳法的欲望是基本没有的．因此我们只能运用等比放缩得到，于是，而是比大的，

显然放缩的精度不太够，误差忒大．因此考虑第一项保留，从第二项开始放缩，提高放缩精度，

【温馨提醒】在利用放缩法时，要主要根据题意适当进行放缩，如本题中而是比大的，显然放缩的精度不太够，误差忒大．因此考虑第一项保留，从第二项开始放缩，提高放缩精度，

【举一反三】

2．求证：

【典例3】

求证：．

【大招指引】运用裂项放缩式进行放缩．

【解析】当时，1＜3，成立．当时，

，则

．

综合．

【题后反思】放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要“留一手”，即采用“有所保留”的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过大或缩得过小.

【温馨提醒】左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型后求和，技巧性较强.

【举一反三】

3．求证：

【典例4】

已知数列满足（且，且，，），求证：．

【大招指引】利用基本不等式放缩解决问题．

【解析】因为，所以，所以，所以，所以．

【题后反思】因为，所以利用利用分组法和基本不等式放缩进行处理.

【温馨提醒】利用放缩法进行数列不等式时，要注意分析题干中已知和所证之间的内在联系，合理选择方法进行处理.

【典例5】

已知数列满足，且，求证：．

【大招指引】要证明，形式很像等比数列，考虑证明小于等于某一个常数．

【解析】当时，因为，

所以，

所以，

所以，因为，所以．

当时，上式显然成立，所以．

【题后反思】本题中要注意压缩的取值范围，因为，且，所以，，所以，所