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大招极化恒等式

对于共起点向量的数量积问题，我们常采用极化恒等式处理．

1．极化恒等式

ABCBC

对于三个不共线的点，，来说，我们令点为线段的中点，如图所示，则有极化

D



22

恒等式ABAC2AD，ABACADDB．



证明①ABACADDBADDC2AD．





②ABACADDBADDC





22

ADADADDBADDCDBDCADDB．

2．极化恒等式的应用



BC

问题中出现共起点的两个向量，之和或数量积时，就可以考虑取的中点，然后

ABACD

使用极化恒等式转化，把数量积运算转化为长度运算（极化恒等式能简化运算的本质原因），

进而解决问题．

注：如果问题中给出的是共终点的两个向量之和或数量积，直接通过加负号转化为共起点的

向量即可．

试卷第1页，共5页

【典例1】

半径为的圆上有三点，、、满足，点是圆内一点，则

1.2OABCOAABAC0P

的取值范围是．

________

PAPOPBPC



PBPCPBPCBC

由于问题中有共起点向量的数量积，因此要取的中点，

【大招指引】00D

然后使用极化恒等式解决问题．



【解析】易知AOABAC2，且，由平行四边形性质可知□ABOC为菱

AOABAC

形，且△ABO与△ACO均为等边三角形．



2222

取AO中点M，由极化恒等式得PAPOPBPCPMAMPMBM

