模块六立体几何大招2外接球问题之补形法.docx

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大招2???外接球问题之补形法

求解棱锥（一般为三棱锥）的外接球相关问题，我们一般采用两种方法——补形法与双外心模型．首先我们一起来了解一下补形法．

1．补形法

如果一个三棱锥的各个顶点都是直棱柱的一些顶点，那么就可以将这个三棱锥补形成直棱柱，并且直棱柱的外接球就是原三棱锥的外接球（空间中不共面的四个点确定一个球）．

2．四种常见的可以补形成长方体的三棱锥

①一顶点引出的三条棱两两垂直的三棱锥（因为形状像墙角，又称墙角模型）：如下图所示，可以补形成长方体．若，SB=b，SC=c，则外接球半径．

②底面为直角三角形，侧棱垂直于底面，垂足为三角形的非直角顶点的三棱锥（②实际上就是①的变式，区别在于垂足是直角顶点还是非直角顶点）：如下图所示，可以补形成长方体．若，，，则外接球半径．

③对棱相等的三棱锥：如下图所示，可以把对棱作为长方体相对的两个面的面对角线，进而补形成长方体．若，，，则外接球半径．

④顶点在底面的投影恰与底面三个顶点构成长方形的三棱锥：如下图所示，也可以补形成长方体，求出长方体的外接球半径即可得三棱锥A-BCD的外接球半径．

【典例1】棱长为a的正四面体的外接球半径为______．

【大招指引】由正棱锥性质及已知条件得其为正四面体，将正四面体补成正方体，则正四面体的外接球即为正方体的外接球，求出正方体棱长得对角线长即为外接球直径，从而可得球表面积．

【解析】如下图所示，正四面体可以补形成一个正方体，正方体边长为，于是该正方体的外接半径，因此棱长为a的正四面体的外接球半径为（可以当作结论记一下，大家会经常见到它）．

【题后反思】

本题考查四面体的外接球问题；把四面体放到长方体模型中转化为求长方体的外接球问题是求解本题的关键;属于中档题.

【举一反三】

1．已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（????）

A． B． C． D．

【典例2】三棱锥S-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，，且，，则三棱锥S-ABC的外接球表面积为______．

【大招指引】

【解析】先令点D为AC的中点，点T为点S在底面ABC上的投影，然后连接BD，SD，AT，CT，DT，ST．根据是等腰直角三角形以及，，得到，，且．由于，因此．又（T为点S在底面ABC上的投影），，于是平面SDT，于是．又，于是B，D，T三点共线．再对使用勾股定理得，于是．又由于，接着在中使用余弦定理得，得到，于是，因此就可得到，，于是，言及于此，三棱锥S-ABC可补形为棱长为1的正方体，如下图所示．（这里为了严谨做了严格推导，实际解题时尝试出来棱长为1的正方体符合题目中所有条件即可）

又棱长为1的正方体的外接球半径，因此三棱锥S-ABC的外接球半径也为，于是三棱锥S-ABC的外接球表面积为．

【举一反三】

2．四面体中，，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（????）

A． B． C． D．

【题后反思】

补形法使用起来非常灵活，通过尝试只要能将棱锥补形成特殊的直棱柱就都可以考虑使用．例如处理一些四棱锥外接球相关问题时，就可以往补形法上考虑．

3．四面体的棱长，其余棱长均为，则该四面体外接球半径为（??）

A． B． C． D．

4．已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（????）

A． B． C． D．

5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（????）

A． B． C． D．

6．已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

7．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱AB的中点，过E作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（???）

A． B．

C． D．

8．三棱锥S-ABC的底面ABC是等腰直角三角形，，且，则三棱锥S-ABC外接球表面积为（????）

A．2π B．3π C．4π D．6π

9．已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，动点在其内切球上，动点在其外接球上，且线段长度的最小值为，设该正三棱锥内切球的球心为，外接球的球心为，则（????）

A．，，三点共线

B．平面

C．正三棱锥外接球的体积为

D．正三棱锥内切球的表面积为

10．在正三棱锥S-ABC中，侧面SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱，则正三棱锥外接球的表面积为.

11．在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为．

12．已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值.

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