优质教案：11.4 单摆.docVIP

学而优教有方

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第11章第4节单摆

【学习目标】

1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。

2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。

3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。

4．知道什么是单摆。

5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。

知识回顾：

我们研究机械振动的实验装置是什么？

答：弹簧振子。

什么是简谐振动？

答：位移随时间变化符合正弦函数和余弦函数的机械振动叫简谐振动。

3.那么摆动是不是简谐振动？

答：是的

知识点一、单摆

单摆：

单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略．

一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，如果悬挂物体的细线的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆．

单摆做简谐运动的条件：

小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动．

单摆做简谐运动的回复力：

单摆做简谐运动的回复力是由重力沿圆弧切线的分力提供（不要误认为是摆球所受的合外力）．当很小时，圆弧可以近似地看成直线，．切线的分力可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明．

可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动．

单摆的周期公式：

荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即

式中为悬点到摆球球心间的距离，为当地的重力加速度．

（1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等时性．

（2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式

，

对于单摆

，

所以

．

周期为的单摆，叫做秒摆，由周期公式

得秒摆的摆长

．

单摆的应用

单摆的应用：

（1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢．

（2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得．由此可知，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度。

如何理解单摆的周期公式：

（1）等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长．如图中，摆球可视为质点，各段绳长均为，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度摆动，为垂直纸面的钉子，而且，则各摆的周期为

甲：等效摆长，．

乙：等效摆长，．

丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由变为，摆球振动时，半个周期摆长为，另半个周期摆长为，即为，则单摆丙的周期为。

（2）等效重力加速度，不一定等于．

①由单摆所在的空间位置决定．由知，随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，的值就越小，另外，在不同星球上也不同．

同一单摆，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同．

同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于地，所以同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平弹簧振子不受变化的影响而改变周期．

②还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为，则摆球处于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值，若升降机加速下降，则重力加速度的等效值．单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值，摆球不摆动了，周期无穷大．若摆球在摆动过程中突然完全失重，则摆球将以那时的速率相对悬点做匀速圆周运动．

一般情况下，的值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时，摆球所受的张力与摆球质量的比值．即．

圆锥摆：

如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面，通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动．

设运动过程中细线与竖直方向夹角为，线长为，则小球做圆周运动的半径

，

向心力

．

由

，

得圆锥摆的周期

．

显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆动．

例题1.甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲摆钟指示时，乙摆钟已指示，则甲、乙两摆钟的摆长之比。

【解