专题2.5 新定义问题（压轴题专项讲练）（北师大版）（解析版）.pdfVIP

专题2.5新定义问题

【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一

数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运

算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f

（35），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4﹣2）．

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（1）直接写出计算结果f（4）＝f（53）＝；

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（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是．（填序号）

①f（63）＝f（36）；

②f（2a）＝1（a≠0）；

③对于任何正整数n，都有f（n﹣1）＝1；

④对于任何正整数n，都有f（2na）＜0（a＜0）．

（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”

的运算公式f（na）（n为正整数a≠0n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a

n的式子表示）

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（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（53）×f（4）×f（5﹣2）×f（6）．

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【思路点拨】

（1）根据题意计算即可；

（2）①分别计算f（6，3）和f（3，6）的结果进行比较即可；

②根据题意计算即可判断；

③分为n为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断；

④2n为偶数，偶数个a相除，结果应为正；

（3）推导f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），按照题目中的做法推到即可；

（4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算．

【解题过程】

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解：（1）f（4）=÷÷÷=4

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f（53）＝3÷3÷3÷3÷3=；

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1

故答案为：4；．

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（2）①f（63）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=f（36）＝6÷6÷6=

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∴f（63）≠f（36），故错误；

②f（2a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；

③对于任何正整数n，当n为奇数时f（n﹣1）＝﹣1；当n为偶数时f（n﹣1）＝1．故错误；

④对于任何正整数n2n为偶数，所以都有f（2na）＞0，而不是f（2na）＜0（a＜0），故错误；

故答案为：②．

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n﹣2n﹣2

（3）公式f（na）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（a）＝（）（n为正整数a≠0n≥2）．

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