数学奥林匹克题解E组合数学 E2计数和离散最值031-040)汇总.pdf

57

E2-031在一种“咬格子”的游戏中，两名选手轮流“咬”一个由单位正方形组成的×网格．所谓

“咬一口”，就是一个选手在剩下的正方形中挑一个正方格子去掉（“吃掉”）它的左面的一条边（朝上延

长）与底边（朝右延长）所确定的象限中的全部正方形格子，如图a所示，有阴影的格子是选定的，吃掉的

是这个有阴影的及打“×”的四个格子．（虚线部分是在这之前已被“吃掉”的）游戏的目标是要对手“咬”

b35

最后一口．图所示的是个正方形组成的集合的一个子集，它是在“咬格子”游戏过程中可能出现的一

个子集．

在游戏过程中，可能出现的不同的子集总共有多少个？整个网格及空集也计算在内．

199212

【题说】第十届（年）美国数学邀请赛题．

【解】根据游戏规则，每次“吃”剩下的图形有如下特点：从左到右，各列的方格数不增．因为如某一方格

AB7

被“吃”，那么它右面和上面的格子全部被“吃”．于是每次剩下的图形从到的上边界是一条由段横

5

线与段竖线组成的折线，且它是不增的；反之，每一条这样的折线，也对应一块“吃”剩下的方格集．

13050110100030

E2-032克、克、克三种砝码共个，总重量为克，问其中克的砝码有多少

个？

199024

【题说】第一届（）希望杯高一二试题（）．原是填空题．

13050xyz

【解】设克、克和克砝码数分别有、、，则有以下关系：

2-1

（）（）得

29y+49z=890

3

（）

2989049890y0z0y1z1

因，，所以≠，≠．即≥，≥．从而

890=29y+49z≥29+49z

zz17

由于是整数，故≤．

z=12173z=1y=291x=80

令，，…，，代入（），知：只有当时，是唯一整数解．又由（）知，．

2930

即这一组砝码中有个克的砝码．

3

E2-033下图中将等边三角形每边等分，过等分点作每