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空气动力学方程：连续性方程：二维连续性方程解析

1空气动力学基础

1.1流体的性质

流体，包括液体和气体，具有独特的物理性质，这些性质在空气动力学中

起着关键作用。流体的性质主要包括：

密度（ρ）:单位体积的流体质量。对于空气，其密度受温度和压

力的影响。

粘度（μ）:流体内部摩擦力的度量，影响流体流动的阻力。

压缩性:描述流体体积随压力变化的性质。空气是一种可压缩流体，

其压缩性在高速流动中尤为重要。

热导率（k）:流体传导热量的能力。在热交换和燃烧等过程中，

热导率是关键参数。

1.2流体动力学基本概念

流体动力学研究流体的运动和与之相关的力。基本概念包括：

流线:描述流体流动路径的线，流体沿流线流动。

流体微团:流体中的一小部分，用于分析流体的局部行为。

欧拉方法与拉格朗日方法:欧拉方法关注固定空间点的流体性质变

化，而拉格朗日方法跟踪流体微团的运动。

连续介质假设:将流体视为连续介质，忽略分子运动，简化流体动

力学方程的求解。

1.3流体流动的分类

流体流动可以根据不同的标准进行分类：

层流与湍流:层流是流体平滑流动的状态，湍流则是流体流动中存

在大量随机涡旋的状态。

亚音速、跨音速、超音速与高超音速流动:根据流体速度与音速的

关系分类。亚音速流动速度小于音速，超音速流动速度大于音速，跨音

速流动速度接近音速，高超音速流动速度远大于音速。

定常与非定常流动:定常流动中，流体的性质不随时间变化；非定

常流动中，流体的性质随时间变化。

不可压缩与可压缩流动:不可压缩流动假设流体密度不变，适用于

低速流动；可压缩流动考虑流体密度随压力和温度的变化，适用于高速

流动。

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2维连续性方程解析

在空气动力学中，连续性方程描述了流体质量守恒的原理。对于二维流动，

连续性方程可以表示为：

∂∂

+=0

∂∂

其中，是流体密度，和分别是流体在和方向的速度分量。

2.1解析方法

解析解二维连续性方程通常需要结合其他流体动力学方程，如动量方程和

能量方程。在特定条件下，如理想流体的无旋流动，可以找到解析解。

2.1.1无旋流动示例

假设一个二维无旋流动，流体为理想流体，密度为常数。此时，连续性方

程简化为：

∂∂

+=0

∂∂

−

考虑一个简单的流动情况，其中=0sincos和=

cossin

，其中和是常数。我们可以验证这个流动是否满足连续

00

性方程。

importsympyassp

#定义符号变量

x,y=sp.symbols(xy)

U0,k=sp.symbols(U0k,real=True,positive=True)

#定义速度分量

u=U0*sp.sin(k*x)*sp.cos(k*y)

v=-U0*sp.cos(k*x)*sp.sin(k*y)

#计算偏导数

du_dx=s