高考数学解析几何直线和圆锥曲线的位置关系.pdf

直线和圆锥曲线的位置关系

编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅

知识网络

目标认知

考试大纲要求：

使学生能灵活应用圆锥曲线的有关知识解决相关问题，培养数学理解能力及分析问题、

解决问题的能力；

重点：

直线与圆锥曲线的三种位置关系的判断及直线与圆锥曲线相交有两个交点时弦长公式

的应用。

难点：

直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用.

知识要点梳理

知识点一：直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离。判断的方法均是把直线方程代

入曲线方程中，判断方程解的个数，从而得到直线与曲线公共点的个数，最终得到直线与曲

线的位置关系。一般利用二次方程判别式来判断有无解，有几个解。

1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：

将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y一元二次方程，其判

别式为Δ.

(1)Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

(2)Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

(3)Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：

将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程。

（一）若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，

但不相切不是切点；

（二）若为一元二次方程，则

(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；

(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；

(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．

注意：

（1）Δ＞0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ＞0，当直线与双曲

线的渐近线平行

时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ＞0是直线与双曲线相交的充分条

件，但不是必要条

件；

（2）当直线与双曲线的渐近线不平行时，Δ=0直线与抛物线相切；

（3）如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点；当

直线与双曲线的

渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点；

（4）过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如

下：

①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线

和分别与双曲线两

支相切的两条切线，共四条；

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线

和只与双曲线一支

相切的两条切线，共四条；

③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一

条是切线；

④P为原点时不存在这样的直线；

2

3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y＝2px(p＞0)的位置关系：

将直线的方程与抛物线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y方程。

（一）若方程为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交

点，但不相切不是切点；

（二）若为一元二次方程，则

(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)；

(2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点；

(3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点.

注意：

（1）Δ＞0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ＞0，当直线与抛物

线的对称轴重合

或平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ＞0也仅是直线与抛物线相

交的充分条件，但

不是必要条件.

（2）当直线与抛物线的对称轴不重合或平行时，Δ=0直线与抛物线相切；

（3）如说直线