结构力学数值方法：边界元法(BEM)：BEM在动态分析中的应用.pdf

结构力学数值方法：边界元法(BEM)：BEM在动态分析中的

应用

1绪论

1.1边界元法(BEM)简介

边界元法（BoundaryElementMethod,BEM）是一种数值分析方法，主要用

于解决偏微分方程问题。与有限元法（FEM）相比，BEM主要关注于问题的边

界条件，将问题域的内部信息转化为边界上的信息，从而大大减少了计算的自

由度。BEM在处理无限域、半无限域以及具有复杂边界条件的问题时，具有显

著优势。

1.1.1原理

BEM基于格林函数（Green’sfunction）和积分方程（integralequation）理

论。格林函数描述了在域内任意一点施加单位点源时，该点对整个域的影响。

通过将格林函数与问题的边界条件结合，可以形成积分方程，进而求解未知边

界量。

1.1.2内容

格林函数的构建：对于特定的偏微分方程，构建相应的格林函数。

边界积分方程的形成：利用格林函数和边界条件，形成边界积分

方程。

离散化：将连续的边界积分方程离散化，转化为代数方程组。

求解：使用数值方法求解离散后的代数方程组，得到边界上的未

知量。

1.2动态分析在结构力学中的重要性

动态分析是结构力学中的一个关键领域，它研究结构在时间变化的载荷作

用下的响应。动态分析对于预测结构在地震、风载、爆炸等瞬态载荷下的行为

至关重要，有助于设计更安全、更可靠的结构。

1.2.1内容

动力学方程：描述结构动力响应的基本方程，包括质量、刚度和

阻尼矩阵。

模态分析：通过求解结构的固有频率和模态形状，分析结构的动

力特性。

1

瞬态分析：考虑时间变化的载荷，求解结构在任意时刻的响应。

1.3BEM与动态分析的结合

将BEM应用于动态分析，可以有效处理无限域和复杂边界条件下的结构动

力问题。BEM通过将动力学方程转化为边界上的积分方程，避免了传统FEM在

无限域问题上的不足。

1.3.1内容

时间域BEM：直接在时间域内求解动态问题，适用于瞬态分析。

频率域BEM：将问题转化为频率域，求解固有频率和模态，适用

于模态分析。

结合实例：以一个具体的结构动态分析问题为例，展示BEM的求

解过程。

1.3.2示例：使用BEM进行频率域动态分析

假设我们有一个无限长的梁，需要分析其在特定频率下的振动响应。我们

可以使用BEM在频率域内求解该问题。

1.3.2.1数据样例

梁的几何参数：长度L=10m，宽度b=0.1m，高度h=0.1m。

材料参数：弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ

=7850kg/m^3。

边界条件：一端固定，另一端自由。

1.3.2.2代码示例

#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.integrateimportquad

fromscipy.specialimporthankel1

#定义材料参数

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

rho=7850#密度

#定义几何参数

L=10#梁的长度

b=0.1#梁的宽度

h=0.1#梁的高度

2

#定义频率

omega=1000#频率

#定义格林函数

defgreen_function(r,omega):

k=omega/np.sqrt(E/rho)#波数

returnhankel1(0,k*r)/(4*np.pi*r)

#定义边界积分方程

defboundary_integral_equation(x,y,omega):

#假设边界上只有一个点源

r=np.sqrt((x-0)**2+(y-0)**2)#点源到积分点的距离

ret