留数及留数定理.ppt

用Laurent级数的展开式计算积分

根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得



f(z)dz2ic1

C1

即f(z)dzc

2iC1

因此，我们可以根据求出系数c-1的值来计算积分。

步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域；

2.在包含积分路径C的解析环域里将函数

展成Laurent级数

求

3.c1

1

留数和留数定理

一Δ、留数的定义和计算

二、留数定理

三*、函数在无穷远点的留数

2

一Δ、留数的定义和计算

设为fz的一个孤立奇点

z0();

z的某去心邻

.z00zz0R

C0域

包含z0的任一条正向简单闭曲线C.

定义若f(z)在z0的去心邻域0|z-z0|R内解析

则称记

1

f(z)dzRes[f(z),z0].

2πiC

为在的留数

f(z)z0(Residue),

3

1.z

计算留数f(z)dz：C0

2iC

在内的级数

f(z)0zz0RLaurent:

n1

f(z)cn(zz0)c1(zz0)c0

n

c1(zz0)cn(zz0)

4

积分f(z)dz

C

n1

cn(zz0)dzc1(zz0)dz

CC

2i

0(高阶导数公式)

n

c0dzc1(zz0)dzcn(zz0)dz

CCC

0(柯西积分定理)

2ic1

1

级数中负幂项的系数

Laurentc1(zz0)

5

即

1

f(z)dzcRes[f(z),z](521)

10

2iC

注在的留数为在为中心的圆环

f(z)z0f(z)z0

1

域内的Laurent级数中负幂项c1(zz0)的系数。

6

计算留数的一般公式

（1）若为函数