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空间几何练习题

题一：求直线与平面的交点坐标

已知直线L的方程为：

x=2t+1

y=3t-4

z=-t-2

平面P的方程为：

2x+y-3z+4=0

求直线L与平面P的交点坐标。

解答：

直线与平面的交点满足直线上的点同时满足平面的方程，即直线上

的点代入平面的方程后等式成立。

将直线L的方程代入平面P的方程，得：

2(2t+1)+(3t-4)-3(-t-2)+4=0

4t+2+3t-4+3t+6+t+6+4=0

11t+14=0

11t=-14

t=-14/11

将t的值代入直线L的方程，得：

x=2(-14/11)+1=-28/11+1=-28/11+11/11=-17/11

y=3(-14/11)-4=-42/11-4=-42/11-44/11=-86/11

z=-(14/11)-2=-14/11-22/11=-36/11

所以，直线L与平面P的交点坐标为：(-17/11,-86/11,-36/11)。

题二：平面中两直线的位置关系

已知平面P的方程为：

2x-3y+z+4=0

直线L1的方程为：

x=2t+3

y=t+1

z=-t-2

直线L2的方程为：

x=3t-1

y=t+2

z=2t-1

判断直线L1和直线L2在平面P中的位置关系。

解答：

直线在平面中的位置关系可以通过将直线的方程代入平面的方程，

判断等式是否成立。

将直线L1的方程代入平面P的方程，得：

2(2t+3)-3(t+1)+(-t-2)+4=0

4t+6-3t-3-t-2+4=0

t+5=0

t=-5

将t的值代入直线L1的方程，得：

x=2(-5)+3=-10+3=-7

y=-5+1=-4

z=-(-5)-2=5-2=3

将直线L2的方程代入平面P的方程，得：

2(3t-1)-3(t+2)+(2t-1)+4=0

6t-2-3t-6+2t-1+4=0

5t-5=0

t=1

将t的值代入直线L2的方程，得：

x=3(1)-1=3-1=2

y=1+2=3

z=2(1)-1=2-1=1

所以，直线L1和直线L2在平面P中的位置关系为：直线L1和直

线L2相交于点(-7,-4,3)。

题三：空间中两平面的位置关系

已知平面P1的方程为：

2x-3y+z+4=0

平面P2的法向量为：

n=(1,-2,3)

判断平面P1和平面P2在空间中的位置关系。

解答：

平面在空间中的位置关系可以通过判断两平面法向量的关系，若法

向量平行，则平面互相平行或重合；若法向量垂直，则平面互相垂直。

平面P1的法向量为(2,-3,1)。

两个向量的内积为0时，表示两向量垂直。计算法向量n与平面P1

的法向量之间的内积，得：

(1,-2,3)·(2,-3,1)=2-6+3=-1

由于内积结果不为0，所以平面P1和平面P2不垂直。

综上所述，平面P1和平面P2在空间中的位置关系为：平面P1和

平面P2不垂直。