专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题46直线与圆、圆与圆的位置关系（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 11

【考点1】直线与圆的位置关系 11

【考点2】圆的切线、弦长问题 17

【考点3】圆与圆的位置关系 22

【分层检测】 27

【基础篇】 27

【能力篇】 35

【培优篇】 39

考试要求：

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.

知识梳理

知识梳理

1.直线与圆的位置关系

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2＋（y－b）2＝r2，,Ax＋By＋C＝0))消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

位置关系

相离

相切

相交

图形

量化

方程观点

Δ0

Δ＝0

Δ0

几何观点

dr

d＝r

dr

2.圆与圆的位置关系

已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝req\o\al(2,1)，

C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝req\o\al(2,2)，

则圆心距d＝|C1C2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).

则两圆C1，C2有以下位置关系：

位置关系

外离

内含

相交

内切

外切

圆心距

与半径

的关系

dr1＋r2

d|r1－r2|

|r1－2|dr1＋r2

d＝|r1－r2|

d＝r1＋r2

图示

公切线条数

4

0

2

1

3

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2.直线被圆截得的弦长的求法

(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2eq\r(r2－d2).

(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（xM＋xN）2－4xM·xN).

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则AB的最小值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

2．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则AB的最小值为（????）

A．1 B．2 C．4 D．

3．（2023·全国·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（????）

A． B．4 C． D．7

4．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（????）

A．1 B． C． D．

二、多选题

5．（2024·全国·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（????）

A．l与相切

B．当P，A，B三点共线时，

C．当时，

D．满足的点有且仅有2个

三、填空题

6．（2023·全国·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．

7．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则．

8．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程．

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

答案

C

C

C

B

ABD

1．C

【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，AB的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解.

【详解】因为直线，即，令，

则，所以直线过定点，设，

将圆化为标准式为，

所以圆心，半径，

当时，AB的最小，

此时.

故选：C

2．C

【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.

【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得

，即，令得，

故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，

设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，AB最小，

，此时.

??

故选：C

3．C

【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.

【详解】法一：令，则，

代入原式化简得，

因为存在实数，则，即，

化简得，解得，

故的最大