2024—2025学年山西省榆次第一中学校高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试卷.docVIP

2024—2025学年山西省榆次第一中学校高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试卷

一、单选题

(★★)1.设，则

A．

B．

C．

D．

(★★)2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)3.的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则的面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（）

A．24

B．12

C．

D．

(★★)5.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（）

A．8

B．7

C．8.5

D．7.5

(★★★)8.已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（）

A．关于直线对称

B．关于点对称

C．周期为

D．在上是增函数

二、多选题

(★★)9.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（）

A．

B．

C．

D．

(★★)10.如图，在中，是的三等分点，则（）

A．

B．若，则在上的投影向量为

C．若，则

D．若

(★★★)11.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（）

A．平面

B．四棱锥的外接球的表面积为

C．与平面所成角的正弦值为

D．点A到平面的距离为

三、填空题

(★)12.经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________．

(★★★)13.过两点的直线l的倾斜角为，求的值为__________．

(★)14.如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．

四、解答题

(★★★)15.利用空间向量知识完成本题．

(1)如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面?

(2)如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面．

(3)如图3，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．

(I)求点B到直线的距离；

(II)求直线到平面的距离．

(★★★)16.判断下列各对直线是否平行或垂直：

(1)经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线；

(2)经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线．

(3)试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线：

(I)平行；

(II)垂直．

(★★)17.在中，角、、所对的边分别为、、，且．

(1)求的值；

(2)若，求的最大值．

(★)18.甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．

(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．

(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．

(★★★)19.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.