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第一章矢量分析第一章矢量分析场的概念 标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度 圆柱坐标系与球坐标系 亥姆霍兹定理

第一章矢量分析1.1场的概念1.1.1矢性函数在二维空间或三维空间内的任一点P,它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量,用黑体A表示,而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,它是从该点出发画一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量A的模,箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位,便成为具有物理意义的矢量,如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。

第一章矢量分析若某一矢量的模和方向都保持不变,此矢量称为常矢,如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会发生变化的矢量,这种矢量我们称为变矢,如沿着某一曲线物体运动的速度v等。设t是一数性变量,A为变矢,对于某一区间G［a,b］内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应,则称A为数性变量t的矢性函数。记为

第一章矢量分析而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数,分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t),则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。

第一章矢量分析1.1.2标量场和矢量场如果在某一空间区域内的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值,则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换句话说,在某一空间区域中,物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场,在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间,而且在该空间域内,除有限个点和表面外,其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关,则该场称为静态场；若该物理量与时间有关,则该场称为动态场或称为时变场。

第一章矢量分析在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时,数学上只需用一个代数变量来描述,这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场,如温度场T(x,y,z)、电位场φ(x,y,z)等。然而在许多物理系统中,其状态不仅需要确定其大小,同时还需确定它们的方向,这就需要用一个矢量来描述,因此称为矢量场,例如电场、磁场、流速场等等。

第一章矢量分析标量场φ(x,y,z)的等值面方程为图1-1矢量场的矢量线

第一章矢量分析例1-1求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解:点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为或

第一章矢量分析例1-2求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解:矢量线应满足的微分方程为从而有解之即得矢量方程c1和c2是积分常数。

第一章矢量分析1.2标量场的方向导数和梯度1.2.1标量场的方向导数图1-2方向导数的定义

第一章矢量分析设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点,从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M,MM0=ρ,如图1-2所示。若当M趋于M0时(即ρ趋于零时),的极限存在,则称此极限为函数φ(M)在点M0处沿l方向的方向导数,记为

第一章矢量分析若函数φ=φ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微,cosα、cosβcosγ为l方向的方向余弦,则函数φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存在,且为证明:M点的坐标为M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函数φ在M0处可微，故

第一章矢量分析两边除以ρ,可得当ρ趋于零时对上式取极限,可得

第一章矢量分析在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez例1-3求数量场方向的方向导数。解:l方向的方向余弦为

第一章矢量分析而数量场在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数

第一章矢量分析1.2.2标量场的梯度标量场φ(x,y,z)在l方向上的方向导数为在直角坐标系中,令

第一章矢量分析矢量l°是l方向的单位矢量,矢量G是在给定点处的一常矢量。由上式显然可见,当l与G的方向一致时,即cos(G,l°)=1时标量场在点M处的方向导数最大,也就是说沿矢量G方向的方向导数最大,此最大值为

第一章矢量分析在标量场φ(M)中的一点M处,其方向为函数φ(M)在M点处变化率最大的方向,其模又恰好等于最大变化率的矢量G,称为标量场φ(M)在M点处的梯度,用gradφ(M)表示。在直角坐标系