专题52 定值问题-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版.docx

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专题52定值问题（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 2

【考点1】长度或距离为定值 2

【考点2】斜率或其表达式为定值 4

【考点3】几何图形的面积为定值 6

【分层检测】 7

【基础篇】 7

【能力篇】 10

【培优篇】 10

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

2．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．

3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．

(1)求的方程；

(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．

4．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

考点突破

考点突破

【考点1】长度或距离为定值

一、解答题

1．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.

(1)求的方程；

(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.

2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知双曲线其左、右焦点分别为，若，点到其渐近线的距离为．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，若成等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．

3．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.

（ⅰ）求与的面积之比；

（ⅱ）证明：为定值.

4．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.

(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；

(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.

5．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.

6．（24-25高三上·广西·阶段练习）椭圆E：的离心率为，过点的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，．

(1)求椭圆E的方程．

(2)设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于C，D两点．试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由．

反思提升：

探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.

【考点2】斜率或其表达式为定值

一、解答题

1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．

2．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．

3．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

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(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；

(2)求证：直线过定点.

4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.

(1)求C的方程；

(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．

5．（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.

(1)求圆C的标