专题51 定点问题-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）解析版.docx

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专题51定点问题（新高考专用）

目录

目录

【真题自测】 2

【考点突破】 5

【考点1】直线过定点问题 5

【考点2】其它曲线过定点问题 16

【分层检测】 28

【基础篇】 28

【能力篇】 42

【培优篇】 48

真题自测

真题自测

一、解答题

1．（2022·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．

(1)求E的方程；

(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．

2．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

参考答案：

1．(1)

(2)

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

（2），所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：

，过点.

②若过点的直线斜率存在，设.

联立得，

可得，，

且

联立可得

可求得此时，

将，代入整理得，

将代入，得

显然成立，

综上，可得直线HN过定点

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2．（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；

（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；

充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.

【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，

又，所以椭圆方程为；

（2）由（1）得，曲线为，

当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；

当直线的斜率存在时，设，

必要性：

若M，N，F三点共线，可设直线即，

由直线与曲线相切可得，解得，

联立可得，所以，

所以,

所以必要性成立；

充分性：设直线即，

由直线与曲线相切可得，所以，

联立可得，

所以，

所以

，

化简得，所以，

所以或，所以直线或，

所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；

所以M，N，F三点共线的充要条件是．

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

考点突破

考点突破

【考点1】直线过定点问题

一、解答题

1．（2024·湖南邵阳·三模）已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．

(1)求的方程．

(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．

（i）证明：直线过定点；

（ii）求面积的最大值．

2．（2024·陕西·模拟预测）已知动圆M经过定点，且与圆内切.

(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；

(2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.

（i）求证：为定值；

（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.

3．（2024·广东广州·模拟预测）已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1.

(1)求动点的轨迹的方程.

(2)过点A的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且.试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

4．（2024·江西宜春·三模）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)若动直线l与曲线C交于，两点（其中），点A关于x轴对称的点为A，且直线BA经过点．

（ⅰ）求证：直线l过定点；

（ⅱ）若，求直线l的方程．

5．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，

（i）求证直线过定点；

（ii）求与面积之和的最小值．

6．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线，动直线与抛物线交于，两点，分别过点、点作抛物线的切线和，直线与轴交于点，直线与轴交于点,和相交于点．当点为时，的外接圆的面积是．

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线的方程是，点是抛物线上在，两点之间的动点（异于点，），求