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行列式

一、二阶行列式概念：形如的式子称为二阶行列式；数学规定；

二、三阶行列式：形如的式子称为三阶行列式。

规定

三、n阶行列式的定义

定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积

的代数和，其中p1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的〔i，j元〕。

根据定义，有

代数余子式和余子式的关系：

四、行列式按行〔列〕展开

余子式 在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作。

代数余子式 ，叫做元素的代数余子式。

确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第行，第列)有关，其代数余子式的正负号是“”．

引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除〔i，j〕元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。

定理 阶行列式等于它的任意一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，。

五、行列式的性质

定义行列互换，行列式不变．即

.

记，，行列式称为行列式的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。＝

性质2行列式的两行对换，其值变号。即

=-.

性质3 一个数乘行列式的一行〔或列〕，等于用这个数乘此行列式．即

k.

性质4 行列式中的某一行〔列〕中所有元素的公因子可以提到的外面;

性质5 行列式一行〔或列〕元素全为零，那么行列式为零．即

.

性质6如果行列式中有两行〔或列〕对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即

=0.

性质7 假设行列式的某一列〔行〕的元素都是两数之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

性质8 把行列式的某一列〔行〕的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。

.

性质9行列式中按任一行展开，其值相等，按任一列展开也一样。

六、几个特殊的行列式：

主对角行列式：主对角元素的乘积；

副对角行列式：副对角元素的乘积；

上、下三角行列式〔〕：主对角元素的乘积；

形如，这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．

推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。

即

推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于乘以其副对角线上各元的乘积。

即，

七、行列式的计算：

利用行列式的性质

即把行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：

，.