结构力学本构模型：各向同性模型：应变能与能量原理技术教程.pdf

结构力学本构模型：各向同性模型：应变能与能量原理技

术教程

1结构力学与本构模型：各向同性模型的应变能与能量原理

1.1绪论

1.1.1结构力学与本构模型的基本概念

结构力学是研究结构在各种外力作用下变形和应力分布的学科。它涉及到

材料的力学性质、结构的几何形状以及外力的作用方式。在结构力学中，本构

模型是描述材料如何响应外力作用的数学模型。这些模型将材料的应力与应变、

温度、时间等参数联系起来，为结构分析提供必要的物理基础。

1.1.2各向同性材料的特性

各向同性材料是指在所有方向上具有相同物理性质的材料。这类材料的特

性不随方向改变，简化了材料属性的描述。在本构模型中，各向同性材料的应

力-应变关系可以通过杨氏模量（E）、泊松比（ν）和剪切模量（G）等参数来

表达。这些参数在材料的弹性范围内保持恒定，使得应力与应变之间存在线性

关系。

1.2应变能

应变能是材料在变形过程中储存的能量。对于各向同性材料，应变能密度

函数可以表示为应变的二次函数。在弹性范围内，应变能密度函数可以写作：

1

=

2

其中，是应力张量，是应变张量。对于线性弹性材料，可以进一步简

化为：

11

=2+2

22

这里，是正应变，是剪应变。

1.2.1示例：计算各向同性材料的应变能

假设我们有一块各向同性材料，其杨氏模量=200泊松比=0.3。

材料受到的正应变=0.001，剪应变=0.002。我们可以使用上述公式计算应

变能。

1

#定义材料参数

E=200e9#杨氏模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

G=E/(2*(1+nu))#计算剪切模量

#定义应变

epsilon=0.001#正应变

gamma=0.002#剪应变

#计算应变能

U=0.5*E*epsilon**2+0.5*G*gamma**2

print(f应变能：{U}J/m^3)

1.3能量原理

能量原理是结构力学中的一个重要概念，它基于能量守恒的原理，用于分

析结构的平衡状态和稳定性。在各向同性模型中，能量原理可以用于求解结构

的位移和应力分布。其中，最小势能原理和最小总势能原理是最常用的两种形

式。

1.3.1最小势能原理

最小势能原理指出，在静力平衡条件下，结构的位移将使得势能（外力势

能与应变能之和）达到最小值。这一原理可以用于求解结构的平衡位移。

1.3.2最小总势能原理

最小总势能原理是考虑了结构的应变能、外力势能以及可能的非保守力

（如摩擦力）的总势能。在结构达到平衡状态时，总势能也将达到最小值。这

一原理适用于更广泛的情况，包括非保守力作用下的结构分析。

1.3.3示例：使用最小势能原理求解简单梁的位移

考虑一根简支梁，长度为=1受到均匀分布的载荷=1000梁的

ℎ

截面为矩形，宽度=0.1，高度=0.05。使用最小势能原理求解梁中点的

位移。

importsympyassp

#定义变量

x=sp.symbols(x)

L=1.0#梁的长度，单位：m

q=1000#均匀分布载荷，单位：N/m

b=0.1#梁的宽度，单位：m

h=0.05#梁的高度，单位：m

2

I=b*h**3/12#截面惯性矩

E=200e9#杨氏模量，单位：Pa

#计算外力势能

V=q*x**2/2

#计算应变能

U=E*I/L**3*(sp.