补课题目四(因式分解培优训练题).doc

一因式分解小结

【知识精读】

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1.因式分解的对象是多项式；

2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

7.因式分解的一般步骤是：

〔1〕通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

〔2〕假设上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项〔添项〕等方法；

【分类解析】

1.通过根本思路到达分解多项式的目的

例1.分解因式

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解一：原式

解二：原式=

2.通过变形到达分解的目的

例1.分解因式

解一：将拆成，那么有

解二：将常数拆成，那么有

3.在证明题中的应用

例：求证：多项式的值一定是非负数

分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。

证明：

设，那么

4.因式分解中的转化思想

例：分解因式：

分析：此题假设直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。

解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

例1.在中，三边a,b,c满足

求证：

证明：

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

题型展示：

1.假设x为任意整数，求证：的值不大于100。

解：

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。

2.将

解：

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

二用十字相乘法解因式

1.在方程、不等式中的应用

例1.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。

分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。

解：〔1〕设原式分解为，其中a、b为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行比照，得：

解得：此时，原式

〔2〕设原式分解为，其中c、d为整数，去括号，得：

将它与原式的各项系数进行比照，得：

解得：

此时，原式

1.分解因式：

〔5〕〔6〕

〔7〕〔8〕

〔9〕〔10〕

〔11〕〔12〕

2.：的值。

3.矩形的周长是28cm，两边x,y使，求矩形的面积。

4.求证：是6的倍数。〔其中n为整数〕

5.：a、b、c是非零实数，且，

求a+b+c的值。

6.：a、b、c为三角形的三边，比拟的大小。

7在多项式，哪些是多项式的因式？

8.多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。

9.：，求x的取值范围。

10.：，求的值。

11.：a、b、c为互不相等的数，且满足。

求证：

12.：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形的面积。

13.假设是7的倍数，其中x，y都是整数，那么是49的倍数。

14.：的值。

15.如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。