弹性力学数值方法：混合元法在三维弹性问题中的应用教程.pdf

弹性力学数值方法：混合元法在三维弹性问题中的应用教

程

1弹性力学与数值方法简介

弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科，其在工程、物

理、材料科学等领域有着广泛的应用。数值方法，尤其是有限元法(FEM)，为解

决复杂弹性力学问题提供了强大的工具。在三维弹性力学问题中，物体的几何

形状、材料性质和受力情况更为复杂，传统的有限元法可能无法高效准确地求

解。

1.1弹性力学基本方程

在三维弹性力学中，我们通常需要解决的是平衡方程、几何方程和本构方

程。平衡方程描述了物体内部应力的平衡条件，几何方程将位移与应变联系起

来，而本构方程则定义了应力与应变之间的关系。

1.1.1平衡方程

∇⋅=0

其中，是应力张量，是体积力。

1.1.2几何方程

1

=∇+∇

2

这里，是应变张量，是位移向量。

1.1.3本构方程

对于线性弹性材料，本构方程可以表示为：

=:

其中，是弹性模量张量。

2混合元法的历史与发展

混合元法是一种在有限元分析中同时考虑位移和应力（或应变）作为基本

未知量的方法。这种方法最早由Bazeley等人在1966年提出，随后经过了数十

年的发展和完善，特别是在解决三维弹性力学问题中，混合元法因其能够更直

接地处理应力和应变的特性而受到重视。

混合元法的关键在于选择合适的位移和应力（或应变）的插值函数，以确

保数值解的稳定性和收敛性。在三维问题中，这种选择变得更加复杂，因为需

要考虑更多的自由度和更复杂的应力应变关系。

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2.1混合元法的优势

直接处理应力：在某些应用中，如结构设计和材料性能评估，直

接获得应力场是至关重要的。

避免锁定位移：在处理近似不可压缩材料时，混合元法可以避免

由于位移插值函数选择不当导致的锁定位移问题。

3维弹性问题的重要性

三维弹性问题在实际工程中极为常见，如飞机机翼的结构分析、桥梁的应

力分布、地下结构的稳定性评估等。这些问题的准确求解对于确保结构的安全

性和优化设计至关重要。三维问题的复杂性要求使用更高级的数值方法，如混

合元法，来处理。

3.1维问题的挑战

几何复杂性：三维结构的几何形状可能非常复杂，需要高精度的

网格划分。

材料性质：三维问题可能涉及各向异性材料，其弹性模量张量更

为复杂。

边界条件：三维问题的边界条件可能包括复杂的接触、摩擦和约

束条件。

4混合元法在三维弹性力学问题中的应用

混合元法在三维弹性力学问题中的应用主要集中在解决复杂几何形状、材

料性质和边界条件下的应力和位移分析。下面通过一个具体的例子来说明混合

元法在三维弹性问题中的应用。

4.1示例：三维梁的应力分析

假设我们有一根三维梁，其几何形状、材料性质和受力情况如下：

几何形状：梁的长度为1m，宽度为0.1m，高度为0.05m。

材料性质：材料为线性弹性，弹性模量=200泊松比=

0.3。

受力情况：梁的一端固定，另一端受到垂直于宽度方向的集中力

=10。

4.1.1混合元法的实现

在混合元法中，我们首先定义位移和应力的插值函数。对于三维问题，通

常使用六面体或四面体单元。下面是一个使用Python和FEniCS库实现的混合

元法求解三维梁应力分析的示例代码：

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