算法设计与分析实验二.pdfVIP

实验二：分治法实验

一、实验目的

（1）掌握设计有效算法的分治策略。

（2）通过快速排序学习分治策略设计技能

二、实验要求

（1）熟练掌握分治法的大体思想及其应用实现。

（2）理解所给出的算法，并对其加以改良。

三、分治法的介绍

任何一个能够用运算机求解的问题所需的计算时刻都与其规模有关。问题的规模越

小，越容易直接求解，解题所需的计算时刻也越少。而当n较大时，问题就不那么容易处

置了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。分治法的设计思想是，将一

个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

若是原问题可分割成k个子问题，1k≤n，且这些子问题都可解，并可利用这些子问

题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题

的较小模式，这就为利用递归技术提供了方便。在这种情形下，反复应用分治手腕，能够使

子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。

这自然致使递归进程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，常常同时应用在算法设计当中，

并由此产生许多高效算法。

分治法的适用条件：

（1）该问题的规模缩小到必然的程度就可以够容易地解决；

（2）该问题能够分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

（3）利用该问题分解出的子问题的解能够归并为该问题的解；

（4）该问题所分解出的各个子问题是彼此独立的，即子问题之间不包括公共的子问题。

上述的第一条特征是绝大多数问题都能够知足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问

题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题能够知足的，此

特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，可否利用分治法完全取决于问题是不是具

有第三条特征，若是具有了第一条和第二条特征，而不具有第三条特征，则能够考虑贪婪法

或动态计划法。第四条特征涉及到分治法的效率，若是各子问题是不独立的，则分治法要做

许多没必要要的工作，重复地解公共的子问题，现在虽然可用分治法，但一般用动态计划法

较好。

分治法的大体步骤：

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

分解：将原问题分解为若干个规模较小，彼此独立，与原问题形式相同的子问题；

解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，不然递归地解各个子问题；

归并：将各个子问题的解归并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：Divide-and-Conquer(P)

1.if|P|≤n0

2.thenreturn(ADHOC(P))

3.将P分解为较小的子问题P1,P2,...,Pk

4.fori←1tok

5.doyi←Divide-and-Conquer(Pi)△递归解决Pi

6.T←MERGE(y1,y2,...,yk)△归并子问题

7.return(T)

其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已

容易直接解出，没必要再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的大体子算法，用于直接解小

规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时，直接用算法ADHOC(P)求解。算法

MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的归并子算法，用于将P的子问题P1,P2,...,Pk的相应的解

y1,y2,...,yk归并为P的解。

按照分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应

该如何才为适当？这些问题很难予以肯定的回答。但人们从大量实践中发觉，在用分治法设

计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问

题的处置方式是行之有效的。许多问题能够取k=2。这种使子问题规模大致相等的做法是出

自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎老是比子问题规模不等的做法要好。分治法的

归并步骤是算法的关键所在。有些问题的归并方式比较明显，有些问题归并方式比较复杂，

或是有多种归并方案；或是归并方案不明显。究竟应该如何归并，没有统一的模式，需要具

体问题具体分析。