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弹性力学基础：胡克定律：弹性力学问题的求解方法

1弹性力学基础：胡克定律：弹性力学问题的求解方法

1.1绪论

1.1.1弹性力学的研究对象与意义

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。其研究对象广泛，包括各种工程结构、机械零件、建筑材料等。弹

性力学的意义在于，它为设计和分析这些结构提供了理论基础，确保它们在使

用过程中能够安全、稳定地承受各种载荷，避免因材料的过度变形或破坏而引

发的安全事故。

1.1.2胡克定律的历史背景与发现

胡克定律是弹性力学中的基本定律之一，由英国科学家罗伯特·胡克于

1678年提出。胡克在研究弹簧的弹性时发现，弹簧的伸长量与作用在弹簧上的

力成正比，且与弹簧的原始长度和横截面积有关。这一发现后来被总结为胡克

定律，即在弹性限度内，材料的应变与应力成正比。胡克定律的数学表达式为：

=

其中，表示应力，表示应变，是材料的弹性模量，一个反映材料抵抗

弹性变形能力的物理量。

1.2胡克定律的数学表达与应用

1.2.1胡克定律的数学表达

胡克定律不仅适用于一维的拉伸或压缩情况，也适用于多维的应力状态。

在三维情况下，胡克定律可以表示为应力张量和应变张量之间的关系：

=

其中，和分别是应力张量和应变张量的分量，是材料的弹性常数，

描述了材料在不同方向上的弹性特性。

1.2.2胡克定律的应用实例

1.2.2.1例1：一维拉伸问题

假设有一根长为，横截面积为的金属棒，当受到轴向拉力时，其长度

增加了。根据胡克定律，我们可以计算金属棒的应力和应变：

1

=

=

=

由于，我们可以求解金属棒的弹性模量：

#Python代码示例

#定义变量

F=1000#拉力，单位：牛顿

A=0.01#横截面积，单位：平方米

L=1#原始长度，单位：米

delta_L=0.001#长度增量，单位：米

#计算应力和应变

sigma=F/A

epsilon=delta_L/L

#计算弹性模量

E=sigma/epsilon

#输出结果

print(f弹性模量E={E}Pa)

1.2.2.2例2：二维应力分析

考虑一个平板在两个方向上受到应力的情况，我们可以使用胡克定律的二

维形式来分析其变形。假设平板在和方向上的应力分别为和，且材料

的泊松比为，弹性模量为，则方向上的应变和方向上的应变可以表