湖北省武汉外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷答案.docxVIP

2024武汉外校高二下数学期末参考答案

选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

A

B

B

D

C

D

C

D

BC

ACD

ACD

填空题

12.13.14.

解答题

15.（13分）已知的内角的对边分别为，满足

证明：;

若，求的面积.

（1）证明：由可得

即,化简得

因为为的内角，所以有，得

（2）由（1）知道为锐角，由得

所以由正弦定理,得

依题，带入相应得值可得，得

16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：左焦点为F1，离心率为，且过点,直线AF1与椭圆C相交于另一点B.

(1)求E的方程；

(2)设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=2S1，求点M的坐标．

（1）由题可得，解的，即

(2)由（1）得，则直线，直线AB与y轴交点为

由题，转化为在Y轴上取点P,使得P到直线AB的距离是O到直线AB的距离的两倍，可得满足题意，

过作与AB平行的直线，两直线与椭圆E的交点即为满足题意的点

带入椭圆解得

带入椭圆解得

综上可得，M的坐标为

（15分）如图，在三棱柱中，是正三角形，

四边形为棱形，,

（1）证明：

（2）求二面角的正弦值.

（1）取AC的中点为O,连接,

由题知是正三角形，

又,

又

（2）方法1：几何法

不妨设，则有

由余弦定理，

方法2：建系法

取O为AC的中点，过O作平面ABC的垂线，以该垂线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB=2,依题，

则

设平面法向量为，则

同理，平面的法向量

18.(1)设函数，当时，恒成立，求的取值范围

(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：.

解：（1）

，若，函数在时，单调递增，恒成立；满足题意

若方程的判别式为

①时，，函数在时，单调递增，恒成立，满足题意

②时，方程在上的解为，

时，，，函数在时，单调递减，不满足恒成立

综上所述，的取值范围

（2）由已知条件得，抽取的20个号码互不相同的概率为

，

因为，

同理，，，，

所以，所以，

再证：，

即证：，即，，

由（1）得，当时，，取，

则，即.

综上，.

19．已知有穷正项数列,若将数列每项依次围成一圈,满足每一项等于相邻两项的乘积,则称该数列可围成一个“T-Circle”．例如：数列都可围成“T-Circle”．

(1)设,当时,是否存在使该数列可围成“T-Circle”,并说明理由.

(2)若的各项全不相等,且可围成“T-Circle”，写出的取值（不必证明），并写出一个满足条件的数列.

(3)若的各项不全相等,且可围成“T-Circle”，求的取值集合.

解：（1）由定义可得，而为正项数列，故，

故，

由最后两式可得，故，故且，

结合可得即，故，故.

故存在，使得数列可围成“T-Circle”,此时数列为：.

（2），满足条件的一个数列为

（3）（i）若的各项不全相等,且可围成“T-Circle”．

结合为正项数列可得，

诸式相乘后可得，

又上述关系式即为(若下标大于，则取下标除以的余数).

故，

故(若下标大于，则取下标除以的余数).

所以(若下标大于，则取下标除以的余数).

设，

若，则即为，故，从而，，

而，故，故，故，从而，

此时均为1，与题设矛盾.

若，则即为，而，

，故，此时均为1，与题设矛盾.

若，则即为，而，所以，故，

从而，

而，故，故，

此时均为1，与题设矛盾.

若，则即为，而，所以，

而，故，故，故，

故，故，故，

此时均为1，与题设矛盾.

若，则，故，

故，故，故，故，故，

此时均为1，与题设矛盾.

综上，