四点共圆例题与答案.pdfVIP

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例1如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四

点共圆．

证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、

OH．

∵AC和BD互相垂直，

∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是

AB、BC、CD、DA的中点，

即E、F、G、H四点共圆．

(2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆．

例2如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．

求证：B、E、F、C四点共圆．

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证明∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AED＋∠AFD=180°，

即A、E、D、F四点共圆，

∠AEF=∠ADF．

又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°，

∠CDF＋∠FCD=90°，

∠ADF=∠FCD．

∴∠AEF=∠FCD，

∠BEF＋∠FCB=180°，

即B、E、F、C四点共圆．

(3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同

侧，那么这两个三角形有公共的外接圆．

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证明在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高．

∴∠BEC=∠BDC=90°，且E、D在BC的同侧，

∴E、B、C、D四点共圆．

∠AED=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AED∽△ACB．

上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同

一直线上)所确定的圆上就不叙述了．

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【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=23∶．求∠A、∠B、

∠C、∠D的度数．

解∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠A+∠C=180°．

∵∠A-∠C=12°，

∴∠A=96°，∠C=84°．

∵∠A∶∠B=23∶，

∠D=180°-144°=36°．

利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题．

【例2】已知：如图1所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB的延长

线于E．求证：ADBE=BC·DC·．

证明：连结AC．

∵CE∥BD，

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∴∠1=∠E．

∵∠1和∠2都是所对的圆周角，

∴∠1=∠2．

∠1=∠E．

∵四边形ABCD内接于圆，

∴∠EBC=∠CDA．

∴△ADC∽△CBE．

ADBC=DC∶BE∶．

ADBE=BC··DC．

本例利用圆内接四边形的一个外角等于