专题13 二次函数-费马点求最小值（学生版）.pdfVIP

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第十三讲二次函数费马点最值

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必备知识点

费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点

【结论】

如图，点为锐角△内任意一点，连接、、，当与三个顶点连线的夹角为°时，

MABCAMBMCMM120

MA+MB+MC的值最小

【证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，

∴AB＝BE，∠ABE＝60°．

而∠MBN＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN．

在△AMB与△ENB中，

∵，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．

∵∠MBN＝60°，BM＝BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；

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∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

分别以△的、为一边向外作等边△和等边△，连接、，设交点为，则点即为

ABCABACABEACFCEBFMM

△ABC的费马点。

点为锐角△内任意一点，连接、、，求最小值

PABCAPBPCPxAP+yBP+zCP

解决办法：

第一步，选定固定不变线段；

第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持不变，，如图所示，、、、四点共线时，取得最小

BPxAP+yBP+zCP=y(APBPCP)BPP2A2

yy

值。

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例：点P为锐角△ABC内任意一点，∠ACB30°，BC6，AC5，连接AP、BP、CP，求3AP+4BP+5CP

的最小值

【分析】将△APC绕C点顺时针转90°到△APC，过P作PA的平行线，交CA于点A，且满足AP：PA3：

11211122211

4.

在Rt△PCP中，设PCa，由△CAP∽△CAP得CP3a/4，则PP25a/4。

222112

35

∴3AP+4BP+5CP4(APBPCP)

44

∴、、、四点共线时，取得最小值。接触长度即可。

BPP2A2BA2

方法点拨

一、题型特征：PA+PB+PC（P为动点）

①一动点，三定点

②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点

与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点。

③同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点

二、模型本质：两点之间，线段最短。

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例题演练

2

1．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y

＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．

（1）求抛物线与直线的解析式；