第37讲、三角形四心及奔驰定理（学生版）.docxVIP

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第37讲三角形四心及奔驰定理

知识梳理

技巧一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

技巧二．奔驰定理解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点．

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故．

技巧三．三角形四心与推论：

（1）是的重心：．

（2）是的内心：．

（3）是的外心：

．

（4）是的垂心：

．

技巧四．常见结论

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．

为的内心．

（2）外心：为的外心．

（3）垂心：为的垂心．

（4）重心：为的重心．

必考题型全归纳

题型一：奔驰定理

例1．（2024·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（????）

A． B． C． D．

例2．（2024·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（????）

A． B． C． D．

例3．（2024·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（????）

A． B． C． D．

变式1．（2024·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

变式2．（2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（?????）

??

A．若，则O为△ABC的重心

B．若，则

C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则

D．若，，，则

变式3．（多选题）（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（????）

A．若，则

B．若，，且，则

C．若，则为的垂心

D．若为的内心，且，则

变式4．（多选题）（2024·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（????）

A．若，则

B．，，，则

C．若为的内心，，则

D．若为的重心，则

题型二：重心定理

例4．（2024·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．

①???②

③?????④

例5．（2024·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．

①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；

③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；

④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；

⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．

例6．（2024·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．

变式5．（2024·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．

（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．

（3）