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2010-2023历年福建省福州市第八中学高三上学期第三次质检理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵?．

（1）求的逆矩阵；

（2）求矩阵的特征值、和对应的一个特征向量、．

2.已知向量，，若向量，则实数的值为___.

3.等差数列的前n项和为,,,当取最小值时,n等于???.

4.函数（）的图象如右图所示，为了得到的图像，可以将的图像

??

A．向左平移个单位长度

B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

5.全集，，则集合

A．{1，3}

B．{0，1，3}

C．{0，3}

D．{2}

6.计算：=?????????.

7.在中,内角、、所对的边分别是、、,若,则是

A．等边三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．钝角三角形

8.（本小题满分14分）已知函数的导函数是，在处取得极值，且，

（1）求的极大值和极小值；

（2）记在闭区间上的最大值为，若对任意的总有

成立，求的取值范围；

（Ⅲ）设是曲线上的任意一点．当时，求直线OM斜率的最小值，据此判断与的大小关系，并说明理由．

9.若角的终边在第二象限且经过点，则等于

A．

B．

C．

D．

10.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，若数列的前项和为，则的值为

A．

B．

C．

D．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（1）；（2），，．试题分析：（1）求出detA=6，即可求出矩阵M的逆矩阵A-1；

（2）首先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0，解方程即可求出特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

试题解析：（1）,?????????????????1分

∴.??????????????????????????????2分

（2）矩阵的特征多项式为?，??????3分

令，得,????????????????????5分

当时，得,当时，得.?????7分

考点：特征值与特征向量的计算．

2.参考答案：试题分析：由已知得由向量，

得故答案为：．

考点：向量垂直的坐标条件．

3.参考答案：6试题分析：由，解得a5=-3，又，

所以a5=a1+4d=-11+4d=-3，解得d=2，

则an=-11+2（n-1）=2n-13，

所以,

所以当n=6时，Sn取最小值．

考点：等差数列的性质．

4.参考答案：C试题分析：由已知及图象可得A=1，，且有，从而，故知为了得到的图像，可以将的图像向右平移个单位长度，故选C．

考点：1．由三角函数图象求解析式；2．三角函数的图象变换．

5.参考答案：B试题分析：由已知得集合{0，1，3}；故选B．

考点：集合的运算．

6.参考答案：试题分析：=，故答案为：．

考点：定积分．

7.参考答案：D试题分析：由得，由余弦定理可知：，所以有，故C为钝角，选D．

考点：余弦定理．

8.参考答案：（1）极大值为，极小值为；（2）；（Ⅲ）直线斜率的最小值为4，，理由祥见解析．试题分析：（1）依题意，f（3）=0，解得m=-6，由已知可设f（x）=x3-6x2+9x+p，因为f（0）=0，所以p=0，由此能求出f（x）的极大值和极小值．

（2）当0＜t≤1时，由（1）知f（x）在[0，t]上递增，所以f（x）的最大值F（t）=f（t）=t3-6t2+9t，由F（t）≥λt对任意的t恒成立，得t3-6t2+9t≥λt，则λ≤t2-6t+9=（t-3）2，由此能求出λ的取值范围．

（Ⅲ）当x∈（0，1]时，直线OM斜率，因为0＜x≤1，所以-3＜x-3≤-2，则4≤（x-3）2＜9，即直线OM斜率的最小值为4．由此能够导出f（x）＞4s1nx．

试题解析：（1）依题意，，解得，??????????????????????1分

由已知可设，

因为，所以，

则，导函数．???????????3分

列表：

1

（1,3）

3

（3，＋∞）

+

0

-

0

+

递增

极大值4

递减

极小值0

递增

?

由上表可知在处取得极大值为，

在处取得极小值为．????????????5分

（2）①当时，由（1）知在上递增，

所以的最大值，????????6分

由对任意的恒成立，得，

则，因为，所以，则，

因此的取值范围是．?????????????????8分

②当时，因为，所以的最大值，

由对任意的恒成立，得，∴，

因为，所以，因此的取值范围是，?????9分

综上①②可知，的取值范围是．????????????10分

（Ⅲ）当时，直线斜率，

因为，所以，则，

即直线斜率的最小值为4．??????????????11分

首先，由，得.

其次，当时，有，所以，???????12分

证明如下：

记，则，

所以在递