专题07 线段中点及角平分线的计算（解析版）.docVIP

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专题07线段中点及角平分线的计算

考点1：利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算，由相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．

训练1：线段中点问题

eq\a\vs4\al(类型1)与线段中点有关的计算

1．如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M，N分别是线段AC，BC的中点．

(1)求线段MN的长．

(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．

(第1题)

【解析】解：(1)因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，

所以CM＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)，CN＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×6＝3(cm)．

所以MN＝CM＋CN＝4＋3＝7(cm)．

(2)MN＝eq\f(1,2)acm.

理由如下：

同(1)可得CM＝eq\f(1,2)AC，CN＝eq\f(1,2)BC，

所以MN＝CM＋CN＝eq\f(1,2)AC＋eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)(AC＋BC)＝eq\f(1,2)acm.

eq\a\vs4\al(类型2)与线段中点有关的说明题

2．画线段MN＝3cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点A，使AN＝eq\f(1,2)MN；延长线段NM到点B，使BN＝3BM.

(1)求线段BM的长；

(2)求线段AN的长；

(3)试说明点Q是哪些线段的中点．

【解析】解：如图．

(第2题)

(1)因为BN＝3BM，所以BM＝eq\f(1,2)MN.

因为MN＝3cm，

所以BM＝eq\f(1,2)×3＝1.5(cm)．

(2)因为AN＝eq\f(1,2)MN，MN＝3cm，

所以AN＝1.5cm.

(3)因为MN＝3cm，MQ＝NQ，

所以MQ＝NQ＝1.5cm.

所以BQ＝BM＋MQ＝1.5＋1.5＝3(cm)，

AQ＝AN＋NQ＝3cm.

所以BQ＝QA.

所以点Q是线段MN的中点，也是线段AB的中点．

训练2：线段分点问题

eq\a\vs4\al(类型1)与线段分点有关的计算(设参法)

3．如图，B，C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分，M是线段AD的中点，CD＝6cm，求线段MC的长．

(第3题)

【解析】解：设AB＝2kcm，则BC＝4kcm，CD＝3kcm，AD＝2k＋4k＋3k＝9k(cm)．

因为CD＝6cm，即3k＝6，

所以k＝2.

所以AD＝18cm.

又因为M是线段AD的中点，

所以MD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×18＝9(cm)．

所以MC＝MD－CD＝9－6＝3(cm)．

eq\a\vs4\al(类型2)线段分点与方程的结合

4．A，B两点在数轴上的位置如图所示，O为原点，A，B两点分别以1个单位长度/s，4个单位长度/s的速度同时向左运动．

(1)几秒后，原点恰好在A，B两点正中间？

(2)几秒后，恰好有OA∶OB＝1∶2?

(第4题)

【解析】解：(1)设运动时间为xs，依题意得

x＋3＝12－4x，

解得x＝1.8.

所以1.8s后，原点恰好在A，B两点正中间．

(2)设运动时间为ts.

①点B在原点右侧：12－4t＝2(t＋3)，

即t＝1；

②点B在原点左侧：4t－12＝2(t＋3)，

即t＝9.

所以1s或9s后，恰好有OA∶OB＝1∶2.

考点2：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．

题型1：角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)

1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

【解析】解：(1)如图①，当OC落在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×100°＝50°，∠BON＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.

(第1题)

(2)如图②，当OC落在∠AOB的外部时，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×100°＝50°，∠BON＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°.

综上可知，∠MON的度数为20°或80°.

题型2：巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)

2．如图，将一张长