五代数方程的求解LSEC课件.pptVIP

(五)代数方程的求解?5.1代数方程系统?5.2直接法?5.3主要迭代法?5.4其他迭代方法1

5.1代数方程系统?有限差分(体积)离散格式提供一个网格点(单元）的代数方程,以线性代数方程为例：?P点和周围邻居点构成计算模板(比差分基架还大）?计算模板(计算分子;解元SE)2

5.1代数方程系统:计算模板2D2阶模板2D3阶模板3D2阶模板3

5.1代数方程系统:整体方程系统?流场中每一点都有一个方程(小组),整个计算域就有一个大型稀疏方程系统4

5.1代数方程系统:系数矩阵的存储?只存储非零的对角元素?2维5点格式：5Ni*Nj?3维7点格式：7Ni*Nj*Nk?Al,l-Nj=W?Al,l-1=S?Al,l=P?Al,l+1=N?Al,l+Nj=E5

5.2直接法5.2.1Gausselimination5.2.2LUdecomposition5.2.3Tridiagonalsystem5.2.4Cyclicreduction6

5.2.1GaussEliminationfromforwardeliminationBybackwardsubstitution,wehaveRequireO(n/3)arithmeticoperation3BackwardsubstitutionO(nPivoting2/2)7RarelyusedinCFD

5.2.2LUdecompositionwhereletthenRequireO(2n)arithmeticoperationBasisofotheriterativemethods28

5.2.3Tridiagonalsystem(TDMA)elimination:***Givesupperbi-diagonalmatrix.Bybackwardsubstitution,weget9*

5.2.3Tridiagonalsystem:块三对角方程组10

5.2.3Tridiagonalsystem(cont)?计算量O(n)?周期三对角方程组?三对角方程组的并行化解法–cyclicreduction,recursivedoubling,SPP…?五对角方程组（类似三对角）11

5.3迭代法?5.3.1基本概念?5.3.2收敛速度?5.3.3一些基本方法?5.3.4不完全LU分解方法?5.3.5ADI和其他分裂方法?5.3.6Conjugategradientmethods?5.3.7Bi-conjugategradients,CGSTAB,GMRES?5.3.8Multigridmethods12

5.3.1基本概念MatrixAissparse设n次迭代的近似解为,不满足上述方程，带入上述方程后有残量：迭代误差迭代解的收敛：实际计算中:13

5.3.2收敛性?ConsideraniterativeschemeforalinearsystemM称为迭代矩阵上两式相减或14

5.3.2收敛性（续）设特征向量完备，则趋于零的充要条件：isthelargesteigenvalue迭代次数：15

5.3.2收敛性：收敛速度16

5.3.3一些基本迭代方法?Jacobimethod:Convergeslow?Gauss-SeidelMethod:2timesasfastasJacobi?SuccessiveOver-relaxation(SORifw1):UsefulforsolvinglinearsystemsoccurringincertainPDE’sForpositivedefinitematrix,theSORconvergesfor17

GS和SOR的一般形式18

GS迭代法的应用：LU-SGS奇次迭代步从左下角开始，偶次迭代步就从右上角开始19

GS迭代法的应用：线-SGS20

GS迭代法的应用：并行的Red-black21

5.3.4不完全LU分解方法(ILU)在PDE中的应用：SIP方法?LUmethod是通用方法，但没有利用原矩阵的稀疏性质；?ILU:非精确分解，i.e.M=LU=A+N;?在ILU中,如果迭代矩阵M尽量接近原矩阵A，则收敛快.?.ILUmethodforCFDisStronglyImplicitProcedure(SIP)，byStone专用的2D五点格式：UM=A+NLN