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考研数学二分类模拟题44

一、填空题

1.?设，则f(x)=______.

正确答案：

2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x

[解]由

??得f(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x.

?

2.?设两曲线y=x2+ax+b与-2y=-1+xy3在点(-1，1)处相切，则a=______，b=______.

正确答案：

3?3

[解]因为两曲线过点(-1，1)，所以b-a=0，又由y=x2+ax+b得再由-2y=-1+xy3得且两曲线在点(-1，1)处相切，则a-2=1，解得a=b=3.

?

3.?设函数满足，则

正确答案：

[解]由得

??

??于是

?

4.?设f(x)二阶连续可导，且，则

正确答案：

e2

[解]得f(0)=0，f(0)=0，则

??

??而

?

5.?设f(x)在x=1处一阶连续可导，且f(1)=-2，则

正确答案：

[解]由

??得

?

6.?设f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2且f(x)在x=0的邻域内连续，则

正确答案：

1

[解]因为f(x)为偶函数，所以f(x)为奇函数，于是f(0)=0，又因为f(x)在x=0的邻域内连续，所以

??于是

?

7.?设f(x)满足f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内f(x)=|x|，则

正确答案：

[解]因为在(-1，1)内f(x)=|x|，

??所以在(-1，1)内

??由f(0)=0得

??故

?

8.?若f(x)=2nx(1-x)n，记

正确答案：

[解]由f(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0得当时，f(x)＞0；当时，f(x)＜0，则为最大点，

??

?

9.?设f(x)在x=a的邻域内二阶可导且f(a)≠0，则

正确答案：

[解]

?

10.?设

正确答案：

0

[解]当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0.

??，方程y+ey=ln(e+t2)两边对t求导数，得

??

?

11.?设

正确答案：

[解]

??

?

12.?设由方程xef(y)=ey确定y为x的函数，其中f(x)二阶可导，且f≠1，则=______.

正确答案：

[解]方程xef(y)=ey两边对x求导，得

??解得

?

13.?设y=y(x)由yexy+xcosx-1=0确定，求dy|x=0=______.

正确答案：

-2dx

[解]当x=0时，y=1，将yexy+xcosx-1=0两边对x求导得

??

??将x=0，y=1代入上式得，故dy|x=0=-2dx.

?

14.?设确定函数y=y(x)，则

正确答案：

[解]

??则

?

15.?设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为______.

正确答案：

[解]当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0.

??(1)当t=-1时，由

??两边对t求导数得

??则，则法线方程为

??(2)当t=1时，由得

??两边对t求导得

??则法线方程为

??即法线方程为

?

16.?设在x=1处可微，则a=______，b=______.

正确答案：

2?-1

[解]因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，

??于是f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1.

??又

??

??由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=-1.

?

17.?设其中f(x)在x=0处连续，且当x→0时，F(x)～x2，则f(0)=______.

正确答案：

[解]

??因为当x→0时，F(x)～x2，所以

??而

?

18.?设f(x)在(-∞，+∞)上可导，则a=______.

正确答案：

1

[解]，由f(x)-f(x-1)=f(ξ)，其中ξ介于x-1与x之间，令x→∞，由，得即e2a=e2，所以a=1.

?

19.?设f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx(1，2)=3，fy(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ(1)=______.

正确答案：

47

[解]因为φ(x)=fx[x，f(x，2x)]+fy[x，f(x，2x)]×[fx(x，2x)+2fy(x，2x)]，

??所以φ(1)=fx[1，f(1，2)]+fy[1，f(1，2)]×[fx(1，2)+2fy(1，2)]

??=3+4×(3+8)=47.

?

20.?曲线的斜渐近线为______.

正确答案：

y=2x-4

[解]

??

??曲线的斜渐近线为y=2x-4.