特训06 利用导数解决零点、交点、方程根等问题（三大题型）（原卷版）.docxVIP

特训06利用导数解决零点、交点、方程根等问题（三大题型）

方法技巧1隐零点问题

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

方法技巧2极限思想在解决零点问题中的应用

解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与x轴的交点问题，故需判断函数图象的变化趋势，极限的思想方法是解决问题的有力工具.

目录：

01：判断、证明或讨论零点的个数

02：根据零点情况求参数范围

03：与函数零点相关的综合问题

01：判断、证明或讨论零点的个数

例1已知函数f(x)＝xsinx－eq\f(3,2).

判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.

感悟提升利用导数求函数的零点常用方法

(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.

(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.

训练1已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－a(x2＋x＋1).

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点.

02：根据零点情况求参数范围

例2已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).

(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个零点，求实数m的取值范围.

感悟提升1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.

2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.

训练2已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2.

(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.

03：与函数零点相关的综合问题

例3设函数f(x)＝e2x－alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋alneq\f(2,a).

感悟提升1.在(1)问中，当a0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而f′(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′(b)0.

2.由(1)问知，函数f′(x)存在唯一零点x0，则f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x0)≥2a＋alneq\f(2,a).

训练3设函数f(x)＝x3＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))处的切线与y轴垂直.

(1)求b；

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

方法技巧1隐零点问题

在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.

例设函数f(x)＝ex－ax－2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x0时，(x－k)·f′(x)＋x＋10，求k的最大值.

方法技巧2极限思想在解决零点问题中的应用

解决函数的零点问题，往往要转化为函数的图象与x轴的交点问题，故需判断函数图象的变化趋势，极限的思想方法是解决问题的有力工具.

例(1)已知函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围.

(2)已知函数f(x)＝ex(x＋1)，若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围.

一、