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第八章§8.13圆锥曲线中定点与定值问题
题型一定点问题(1)求C的方程；
(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1728k0，解得k0，
所以线段MN的中点是定点(0,3).
求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
跟踪训练1(2024·郑州质检)已知椭圆C：＝1(ab0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点.(1)求椭圆C的方程；又a2＝b2＋c2，则a＝2，
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M？
由(1)知M(2,0)，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2t2)，
若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.
易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，
题型二定值问题例2在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的两个顶点坐标为B(－2,0)，C(2,0)，直线AB，AC的斜率乘积为(1)求顶点A的轨迹Γ的方程；
依题意，过点P(1,0)与曲线Γ交于点M，N的直线斜率存在且不为零，设直线MN的方程为x＝my＋1(m≠0)，
即有2my1y2＝3(y1＋y2)，
又(x1y2＋x2y1)＋2(y2－y1)＝(my1＋1)y2＋(my2＋1)y1＋2(y2－y1)＝2my1y2＋3y2－y1＝3(y1＋y2)＋3y2－y1＝2(y1＋3y2)，(x1y2－x2y1)＋2(y2＋y1)＝(my1＋1)y2－(my2＋1)y1＋2(y2＋y1)＝y1＋3y2，
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A，MN交x轴于点E，因为|MF|＝|MN|，所以△MNF是等边三角形，因为O是FB的中点，所以|DF|＝|DN|，MD⊥DF，
所以|MN|＝8，|AN|＝4，
(2)若斜率不为0的直线l1与抛物线C相切，切点为G，平行于l1的直线交抛物线C于P，Q两点，且∠PGQ＝，证明：点F到直线PQ与到直线l1的距离之比为定值.
由(1)可知抛物线C的方程是x2＝8y，由题意知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，
即(x1＋x0)(x2＋x0)＝－64，
得x2－8kx－8m＝0，其中Δ＝64k2＋32m0，则x1＋x2＝8k，x1x2＝－8m，所以－8m＋32k2＋16k2＝－64，所以m＝6k2＋8.设点F到直线PQ和直线l1的距离分别为d1，d2，所以点F到直线PQ与到直线l1的距离之比是定值，定值为3.
课时精练
1234(1)求实数k的取值范围；
1234化简整理得(1－4k2)x2－24kx－52＝0，Δ＝(－24k)2＋4×(1－4k2)×52＝208－256k2，要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B，
1234
1234(2)证明：当k变化时，点D的纵坐标为定值.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，1234
1234
1234(1)求双曲线C的方程；
1234
1234(2)若直线l与双曲线C在第一象限交于A，B两点，直线x＝3交线段AB于点Q，且S△FAQ∶S△FBQ＝|FA|∶|FB|，证明：直线l过
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